Enunciado

Seja

f x , y = x y 2 x 2 + y 4 , 0 ,                             x , y ≠ 0,0 x , y = 0,0

Mostre que f x 0 ,   0 e   f y ( 0 ,   0 ) existem, mas   f não é diferenciável em ( 0 ,   0 ) . (Sugestão: utilize o Teorema 4 e mostre que f não é contínua em ( 0 ,   0 ).)

Passo 1

Oii pessoal, show de bola??

“A loucura é como a gravidade, só precisa de um empurrãozinhooo...”

Bora empurrar e macetar essa questãozinha comigo agora

Vamos considerar a seguinte função:

f x , y = x y 2 x 2 + y 4 , 0 ,                             x , y ≠ 0,0 x , y = 0,0

O objetivo é mostrar que f x 0 ,   0 e   f y ( 0 ,   0 ) existem, mas f não é diferenciável em ( 0 ,   0 ) .

Lembre-se do seguinte resultado:

Suponha que a função f ( x , y ) seja diferençável em ( x 0 , y 0 ) , então f é contínua em ( x 0 , y 0 ) .

Passo 2

Vamos mostrar que f não e diferenciável em ( 0,0 )

Primeiro, determinaremos f x     e   f y

f x = ∂ x   x y 2 x 2 + y 4

= y 2 x 2 + y 4 - x y 2 2 x + y 4 x 2 + y 4 2

= y 6 - x 2 + y 4 - x y 2 2 x + 4 x 2 + y 4 2

f y = ∂ y   x y 2 x 2 + y 4

= 2 x y x 2 + y 4 - x y 2 2 x + 4 y 3 x 2 + y 4 2

= 2 x 3 - x 3 y 2 - 2 x y 5 x 2 + y 4 2

Passo 3

Claramente f x   e   f y existem.

Agora para provar que a função f não é diferenciável assuma o caminho geral y = m x e vamos substituir o valor de y = m x nas equações encontradas no passo anterior, como mostrarei a seguir:

f x = y 6 - x 2 + y 4 - x y 2 2 x + 4 x 2 + y 4 2

= x 4 m 6 x 2 - m 2 - m 6 x 3 x 4 1 + m 4 x 2 2

= m 6 x 2 - m 2 - m 6 x 3 1 + m 4 x 2 2

É evidente pelos cálculos acima que a função contém um valor constante m. Isso mostra que a função não é diferenciável. Os mesmos cálculos podem ser realizados para a função ao diferenciar em relação a y.

“Faça seus medos terem medo de você”

Resposta

Vide a explicação

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Dada vec f (x , y , z) = ( e^(x y) , e^(y z) , e^(x z) ) , encontrar(del f)/(del x) + (del f)/(del y) + (del f)/(del z)
Calcular as derivadas parciais de 1 ª ª ordem das seguintes funções:f) u → x , y , z = e x y i → + ln ⁡ x z j → + 2 k →
Calcular as derivadas parciais de 1 ª ª ordem das seguintes funções:c) h → x , y , z = 9 - z 2 , 9 - y 2 , 9 - x 2
Calcular as derivadas parciais de 1 ª ª ordem das seguintes funções:a) f → x , y , z = y i → + x 2 y 2 z 2 j → + e x y z k →
10. f (x , y) = x y^2 + x y + x^2 y