Enunciado

22. Seja g x , y = x f ( x 2 + y , 2 y ,   2 x - y ) . Expresse ∂ g ∂ x e ∂ g ∂ y em termos das derivadas parciais de f

Passo 1

Nossa função é a seguinte:

g x , y = x f x 2 + y , 2 y ,   2 x - y

Pra facilitar nossa vida, vamos expressar f x 2 + y , 2 y ,   2 x - y como f ( u , v ,   w ) . Para isso, faremos uma substituição.

u = x 2 + y

Derivando em relação a x :

∂ u ∂ x = 2 x

Derivando em relação a y :

∂ u ∂ y = 1

O termo v fica assim:

v = 2 y

Derivando em relação a x :

∂ v ∂ x = 0

Derivando em relação a y :

∂ v ∂ y = 2

Por fim, vamos ver como fica o w :

w = 2 x - y

Derivando em relação a x :

∂ w ∂ x = 2

Derivando em relação a y :

∂ w ∂ y = - 1

Então podemos escrever o seguinte:

g x , y = x f ( u , v ,   w )

Passo 2

Para derivar em relação a x vamos usar a regra do produto, assim:

∂ g ∂ x = 1 × f u , v + x × ∂ f ∂ x

Para achar ∂ f ∂ x , vamos usar a regra da cadeia, olha só:

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ x

Do Passo 1:

∂ f ∂ x = ∂ f ∂ u × 2 x + ∂ f ∂ v × 0 + ∂ f ∂ w × 2

Agora é só substituir na equação lá de cima!

∂ g ∂ x = f u , v + x 2 x ∂ f ∂ u + 2 ∂ f ∂ w

Passo 3

Pra finalizar, vamos derivar em relação a y e para isso bora usar a regra do produto, assim:

∂ g ∂ y = x × ∂ f ∂ y

Para achar ∂ f ∂ y , vamos usar a regra da cadeia, olha só:

∂ f ∂ y = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y + ∂ f ∂ w ∂ w ∂ y

Do Passo 1:

∂ f ∂ y = ∂ f ∂ u × 1 + ∂ f ∂ v × 2 + ∂ f ∂ w × - 1

Agora é só substituir na equação lá de cima!

∂ g ∂ y = x ∂ f ∂ u + 2 ∂ f ∂ v - ∂ f ∂ w

Resposta

∂ g ∂ x = f u , v + x 2 x ∂ f ∂ u + 2 ∂ f ∂ w

∂ g ∂ y = x ∂ f ∂ u + 2 ∂ f ∂ v - ∂ f ∂ w

Onde, u =   x 2 + y , v =   2 y     e     w = 2 x - y

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