Enunciado

4. Suponha que, para todo t , f (t^2 , 2 t) = t^3 - 3 t . mostre que (del f)/(del x) (1,2) = - (del f)/(del y) (1,2) .

Passo 1

A função que ele nos deu foi a seguinte:

f (t^2 , 2 t) = t^3 - 3 t

Primeiro vamos escrever essa função em termos de f ( x , y ) . Assim,

x = t^2 e y = 2 t

Então,

f (t^2 , 2 t) = t^2 xx t - 3 xx t

Substituindo por x e y :

f (x , y) = x xx (y)/(2) - 3 xx (y)/(2)

A ideia será derivar parcialmente em relação a x e y e verificar que a afirmação dele é verdade. Vamos lá!

Passo 2

Nossa função fica da seguinte forma:

f (x , y) = (x y)/(2) - (3)/(2) y

Derivando em relação a x :

(del f)/(del x) = (1)/(2) y

Agora vamos derivar f em relação a y :

(del f)/(del y) = (1)/(2) x - (3)/(2)

Passo 3

Pra finalizar, vamos calcular os valores das derivadas parciais no ponto (1,2) . Em relação a x :

(del f)/(del x) = (1)/(2) y

Logo,

(del f)/(del x) (1,2) = (1)/(2) xx 2 -> (del f)/(del x) (1,2) = 1

Agora vamos ver como fica em relação a y .

(del f)/(del y) = (1)/(2) x - (3)/(2)

Então,

(del f)/(del y) (1,2) = (1)/(2) xx 1 - (3)/(2) = - 1

Portanto,

(del f)/(del x) (1,2) = - (del f)/(del y) (1,2)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja F ( u , v ) diferenciável em R 2 , com ∂ F ∂ v u , v ≠ 0 para todo ( u , v ) . Suponha que, para todo ( x , y ) , F x y , z = 0 , onde z = z ( x , y ) . Mostre que x ∂ z ∂ x - y ∂ z ∂ y = 0
Suponha x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) sejam dadas implicitamente pelo sistema u = x + y v = y x , x ≠ 0 Mostre que ∂ x ∂ u1 + y x = 1
A equação y 3 + x y + x 3 = 4 define implicitamente alguma função diferenciável y = y ( x ) ? Em caso afirmativo, expresse d y d x em termos de x e y .
A função diferenciável z = z ( x , y ) é dada implicitamente pela equação f x y , z = 0 , onde f ( u , v ) é suposta diferenciável e ∂ f ∂ v u , v ≠ 0 . Verifique que x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = 0
Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável y = y ( x ) . Expresse d y d x em termos de x e y .a) x 2 y + s e ny = x b) y 4 + x 2 y 2 + x 4 = 3