4. Suponha que, para todo t , f(t^2, 2t) = t^3 - 3t . mostre que ∂f/∂x|1,2 = -∂f/∂y|1,2

Passo 1

A função que ele nos deu foi a seguinte:

f t 2 ,   2 t = t 3 - 3 t

Primeiro vamos escrever essa função em termos de f ( x , y ) . Assim,

x = t 2 e y = 2 t

Então,

f t 2 ,   2 t = t 2 × t - 3 × t

Substituindo por x e y :

f x ,   y = x × y 2 - 3 × y 2

A ideia será derivar parcialmente em relação a x e y e verificar que a afirmação dele é verdade. Vamos lá!

Passo 2

Nossa função fica da seguinte forma:

f x ,   y = x y 2 - 3 2 y

Derivando em relação a x :

∂ f ∂ x = 1 2 y

Agora vamos derivar f em relação a y :

∂ f ∂ y = 1 2 x - 3 2

Passo 3

Pra finalizar, vamos calcular os valores das derivadas parciais no ponto 1,2 . Em relação a x :

∂ f ∂ x = 1 2 y

Logo,

∂ f ∂ x 1,2 = 1 2 × 2 →   ∂ f ∂ x 1,2 = 1

Agora vamos ver como fica em relação a y .

∂ f ∂ y = 1 2 x - 3 2

Então,

∂ f ∂ y 1,2 = 1 2 × 1 - 3 2 = - 1

Portanto,

∂ f ∂ x 1,2 = - ∂ f ∂ y 1,2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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