Seja z = f(x, y) , (x, y) pertence A , com A aberto. Suponha que ∂f/∂x e ∂f/∂y estão definidas em A e que (∂^2 f) / (∂x ∂y) e (∂^2 f) / (∂y ∂x) são contínuas em A . Seja (x_0, y_0) um ponto qualquer de A ; seja B uma bola aberta de centro (x_0, y_0) e contida em A . Sejam h e k tais que (x_0 + h, y_0 + k) pertença a B . Seja ainda

H(h, k) = f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0 + k) - f(x_0 + h, y_0) + f(x_0, y_0)

Considere as funções ϕ(t) = f(t, y_0 + k) - f(t, y_0) e rho(s) = f(x_0 + h, s) - f(x_0, s) .

Prove: existem t_2 e s_2 , com t_2 entre x_0 e x_0 + h e s_2 entre y_0 e y_0 + k , tais que

H(h, k) = (∂^2 f) / (∂x ∂y) (t_2, s_2) hk = ρ(y_0 + k) - ρ(y_0)

Passo 1

Vamos fazer algo muito semelhante ao que foi feito nos itens (b) e (c).

Pelo teorema do valor médio, existe s 2 entre y 0 e y 0 + k tal que

ρ y 0 + k - ρ y 0 = ρ ' s 2   k

Por outro lado, sabemos que

ρ ' s 2 = ∂ f ∂ y x 0 + h ,   s 2 - ∂ f ∂ y ( x 0 ,   s 2 )

Assim,

ρ y 0 + k - ρ y 0 = ∂ f ∂ y x 0 + h ,   s 2 - ∂ f ∂ y x 0 ,   s 2   k

Passo 2

Agora consideremos a função

F t = ∂ f ∂ y ( t ,   s 2 )

Pelo teorema do valor médio, existe t 2 entre x 0 e x 0 + h tal que

F x 0 + h - F x 0 = ∂ f ∂ y x 0 + h ,   s 2 - ∂ f ∂ y x 0 ,   s 2 = F ' t 2   h

Por outro lado,

F ' t 2 = ∂ 2 f ∂ x   ∂ y ( t 2 ,   s 2 )

Assim,

∂ f ∂ y x 0 + h ,   s 2 - ∂ f ∂ y x 0 ,   s 2 = ∂ 2 f ∂ x   ∂ y ( t 2 ,   s 2 )   h

Logo,

ρ y 0 + k - ρ y 0 = ∂ 2 f ∂ x   ∂ y ( t 2 ,   s 2 )   h k

Resposta

Demonstração.

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