8. Seja f x , y = x y x 2 - y 2 x 2 + y 2   s e   x , y ≠ 0,0 0   s e   x , y = 0,0 . Calcule (∂^2 f / ∂x ∂y) (0,0) e (∂^2f/∂y ∂x) (0,0)

Passo 1

Primeiramente vamos calcular ∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 .

Lembrando que ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y x , y .

Vamos calcular primeiro a derivada primeira de f para x , y ≠ 0,0 , ∂ f ∂ y ( x , y ) .

Como é uma função muito grande, vamos dividí-la em partes mudando variáveis para não nos perdermos e já calcular suas respectivas derivadas.

u = x y e ∂ u ∂ y = x

v = x 2 - y 2 x 2 + y 2 e, pela regra do quociente,

∂ v ∂ y = ∂ x 2 - y 2 ∂ y x 2 + y 2 - x 2 - y 2 ∂ x 2 + y 2 ∂ y x 2 + y 2 2

∂ v ∂ y = ( - 2 y ) x 2 + y 2 - x 2 - y 2 ( 2 y ) x 2 + y 2 2

∂ v ∂ y = - 2 x 2 y - 2 y 3 - 2 x 2 y + 2 y 3 x 2 + y 2 2

∂ v ∂ y = - 4 x 2 y x 2 + y 2 2 .

Ficamos com

f = u v e ∂ f ∂ y = ∂ u ∂ y v + u ∂ v ∂ y .

Substituindo,

∂ f ∂ y = x x 2 - y 2 x 2 + y 2 + x y - 4 x 2 y x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = x x 2 - y 2 x 2 + y 2 2   ( x 2 + y 2 ) + x y - 4 x 2 y x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = x 5 - x y 4 x 2 + y 2 2   + - 4 x 3 y 2 x 2 + y 2 2 .

Note que se só substituirmos o ponto ( 0,0 )   na equação para acharmos ∂ f ∂ y 0,0 ,   encontramos a indeterminação “ 0 / 0 ”. Usaremos então:

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0 = 0

Agora que definimos a função encontrada na primeira derivação, vamos chama-la de m .

∂ f ∂ y x , y = m x , y = x 5 - x y 4 - 4 x 3 y 2 x 2 + y 2 2   s e   x , y ≠ 0,0 0   s e   x , y = 0,0

Vamos calcular, agora

∂ ∂ x ∂ f ∂ y 0,0 = ∂ m ∂ x ( 0,0 )

∂ m ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ m x , 0 - m 0,0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ x 5 x 4 x = 1

∂ 2 f ∂ x   ∂ y 0,0 = 1 .

Passo 2

Vamos calcular, agora, ∂ 2 f ∂ y   ∂ x 0,0 .

Lembrando que ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y x , y .

Vamos calcular primeiro a derivada primeira de f para x , y ≠ 0,0 , ∂ f ∂ x ( x , y ) .

Mudando as variáveis e calculando suas respectivas derivadas.

u = x y e ∂ u ∂ x = y

v = x 2 - y 2 x 2 + y 2 e, pela regra do quociente,

∂ v ∂ x = ∂ x 2 - y 2 ∂ x x 2 + y 2 - x 2 - y 2 ∂ x 2 + y 2 ∂ x x 2 + y 2 2

∂ v ∂ x = ( 2 x ) x 2 + y 2 - x 2 - y 2 ( 2 x ) x 2 + y 2 2

∂ v ∂ x = 2 x 3 + 2 x y 2 - 2 x 3 + 2 x y 2 x 2 + y 2 2

∂ v ∂ x = 4 x y 2 x 2 + y 2 2 .

Ficamos com

f = u v e ∂ f ∂ y = ∂ u ∂ y v + u ∂ v ∂ y .

Substituindo,

∂ f ∂ x = y x 2 - y 2 x 2 + y 2 + x y 4 x y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ x = y x 2 - y 2 x 2 + y 2 2   ( x 2 + y 2 ) + x y 4 x y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ x = x 4 y - y 5 x 2 + y 2 2   + 4 x 2 y 3 x 2 + y 2 2 .

Calculando ∂ f ∂ y 0,0 :

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0 = 0

Agora que definimos a função encontrada na primeira derivação, vamos chama-la de n .

∂ f ∂ x x , y = n x , y = x 4 y - y 5 + 4 x 2 y 3 x 2 + y 2 2   s e   x , y ≠ 0,0 0   s e   x , y = 0,0

Vamos calcular, agora

∂ ∂ y ∂ f ∂ x 0,0 = ∂ n ∂ y ( 0,0 )

∂ n ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ n 0 , y - n 0,0 y - 0 = lim y → 0 ⁡ - y 5 y 4 y = - 1

∂ 2 f ∂ y   ∂ x 0,0 = - 1 .

Resposta

∂ 2 f ∂ x   ∂ y 0,0 = 1 e ∂ 2 f ∂ y   ∂ x 0,0 = - 1 .

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