Seja F = P \* i + Q \* j uma campo vetorial de R^2 em R^2 , com P e Q diferenciáveis. Sejam u = cos(alpha) i + sen alpha j e v = -sen alpha i + cos alpha j , onde alpha != 0 é um real dado. Seja (s, t) as coordenadas no sistema de coordenadas (0, u, v) Assim (x, y) = s \* u + t \* v . Observe que (x, y) = s \* u + t \* v é equivalente a x = s \* cos(alpha) - t \* sen \* alpha e y = s sen alpha + t cos(alpha)

  1. Mostre que
  2. F(x, y) = [P(x, y) cos(α) + Q(x, y) sen α] u + [Q(x, y) cos(α) - P(x, y) sen α] v

  3. Seja F1(s, t) = P1(s, t) u + Q1(s, t) v onde P1(s, t) = P(x, y) cos(alpha) + Q(x, y) sen(alpha) e Q1(s, t) = Q(x, y) cos(alpha) - P(x, y) sen alpha com x = s \* cos(alpha) - t \* sen(alpha) e y = s \* sen(alpha) + t \* cos(alpha) Mostre que (∂P1/∂s)(s, t) + (∂Q1/∂t)(s, t) = (∂P/∂x)(x, y) + (∂Q/∂y)(x, y) , onde (x, y) = s * u vetor + t * v vetor Interprete . (observe que F1(s, t) = F(x, y) onde (x, y) = s u→ + t v→ .

Passo 1

  1. Recapitulando: u → = cos ⁡ α   i → + s e n   α   j → ; v → = - s e n   α i → + cos ⁡ α   j → ; x , y = s u → + t v → .
  2. Beleza, daqui a gente já pode reescrever ( x , y ) como:

    x , y = s cos ⁡ α - t s e n   α i → + s   s e n   α + t cos ⁡ α j →  

    A gente tem também que:

    i → = cos ⁡ α u → - s e n   α v →       e     j → = s e n   α u → + cos ⁡ α v →

    Show! Agora a gente pode escrever F → = P i → + Q j → com esses dados:

    F → x , y = P x , y [ cos ⁡ α u → - s e n   α v → ] + Q x , y s e n   α u → + cos ⁡ α v →

    Reorganizando agora...

    F → x , y = P x , y cos ⁡ α + Q x , y s e n   α u → + Q x , y cos ⁡ α - P x , y s e n   α v →

    Prontinho! Mostramos o que foi pedido😉

    Passo 2

  3. Fazendo as derivadas parciais de x   e   y , temos:

∂ x ∂ s =   cos ⁡ α ; ∂ x ∂ t =   - s e n   α ;   ∂ y ∂ s = s e n   α ;   ∂ y ∂ t = cos ⁡ α

Daí a gente tem que:

∂ P 1 ∂ s s , t = ∂ ∂ s P x , y cos ⁡ α + Q x , y s e n   α   e

∂ Q 1 ∂ t s , t = [ ∂ ∂ t Q x , y cos ⁡ α - P x , y s e n   α

Aplicando a regra da cadeia e somando as duas...

=   cos ⁡ α ∂ P ∂ x ∂ x ∂ s + cos ⁡ α ∂ P ∂ y ∂ y ∂ s + s e n   α ∂ Q ∂ x ∂ x ∂ s + s e n   α ∂ Q ∂ y ∂ y ∂ s + cos ⁡ α ∂ Q ∂ x ∂ x ∂ t + cos ⁡ α ∂ Q ∂ y ∂ y ∂ t - s e n   α ∂ P ∂ x ∂ x ∂ t - s e n   α ∂ P ∂ y ∂ y ∂ t

Simplificando e usando a relação trigonométrica s e n 2 α + cos 2 ⁡ α = 1 , temos:

∂ P 1 ∂ s s , t + ∂ Q 1 ∂ t s , t = cos 2 ⁡ α + s e n 2 α ∂ P ∂ x x , y + s e n 2 α + cos 2 ⁡ α ∂ Q ∂ y ( x , y )

∂ P 1 ∂ s s , t + ∂ Q 1 ∂ t s , t = ∂ P ∂ x x , y + ∂ Q ∂ y ( x , y )  

Prontinho! Chegamos ao que queríamos😉

Isso significa que o divergente é invariante por uma rotação de eixos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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