Enunciado

Seja w → = ( w 1 ,   w 2 ,   w 3 ) um campo vetorial definido no aberto Ω de R 3 . Prove que d i v   w → = 0 é uma condição necessária para que exista um camoo vetorial u → = ( u 1 ,   u 2 , u 3 ) , como componentes de classe C 2 , em Ω ,   tal que r o t   u → =   w → .

Passo 1

Basicamente o que queremos provar é o seguinte:

Se r o t   u → = w →   então d i v   w → = 0 .

No exercício 9 provamos várias propriedades de rotacional e divergente (dá uma olhada lá!). a propriedade provada na letra e foi a seguinte:

d i v   r o t   u → = 0

Então se aplicarmos o divergente dos dois lados na expressão r o t   u → = w → ficamos com:

d i v   r o t   u → = d i v   w →

E usando a propriedade provada ali, a gente encontra que:

d i v   w → = 0

Ou seja, essa é uma condição necessária para que tenhamos r o t   u → =   w → .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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