Enunciado

Seja F um campo vetorial diferenciável definido em uma região contendo uma superfície orientada fechada e lisa S e seu interior. Seja n o campo vetorial normal unitário em S. Suponha que S seja a união de duas superfícies S 1 e S 2 unidas ao longo de uma curva fechada simples e lisa C . Pode-se dizer algo sobre

∬ ∇ × F ∙ n d σ ?

Justifique sua resposta.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Podemos notar que esta integral pode ser escrita como

∬ ∇ × F ∙ n d σ = S 1   ∬ ∇ × F ∙ n d σ + S 2 ∬ ∇ × F ∙ n d σ

Agora, pelo Teorema de Stokes

∬ ∇ × F ∙ n d σ = C 1   ∮ F ∙ d r + C 2   ∮ F ∙ d r

Onde C 1 ​ e C 2 ​ são curvas orientadas em C com orientações opostas. Portanto, podemos dizer que

C 1   ∮ F ∙ d r = C 2 - ∮ F ∙ d r

Com isso,

∬ ∇ × F ∙ n d σ =   ∮ F ∙ d r -   ∮ F ∙ d r = 0

Isso significa que o fluxo de um campo vetorial rotacional através de superfícies fechadas é zero.

Resposta

Respondido acima!!!

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