Enunciado

Seja F x , y , z = 2 x z + y 2     ;     2 x y + 3 y 2     ;     e z + x 2 .

  1. Seja C a curva obtida como intersecção da superfície de equação z = 9 - x 2 - y 2 , z ≥ - 4 com o plano y = 2 . Calcule

∫ C F   d r

Especificando a orientação escolhida.

Passo 1

Seguindo nessa questãozinha. Vimos na letra A que sim! O campo é conservativo.

Agora vamos ter que procurar pela função f ; lembrando que:

∇ f = F

Mas aaaantes disso, tava quase esquecendo né?! Precisamos esboçar as superfícies e tentar encontrar a intersecção:

A intersecção é aquela curva em amarelo na imagem. Vamos isolar ela, para ficar menos poluído esse negócio.

De quebra já deixei claro ali a orientação para a curva (anti-horário).

Passo 2

Bom, porque a gente precisou desenhar isso? Bom lembra que a gente disse que o campo era conservativo??

Ou seja, só importa os pontos de saída e de chegada. Então, devemos escolher dois pontos sob a curva em amarelo para poder calcular a integral.

Vamos fazer isso com base na intersecção, então adotando z = - 4 e y = 2 :

z = 9 - x 2 - y 2

- 4 = 9 - x 2 - 2 2

Portanto:

x 2 = 9 → x = ± 3

Ou seja, teremos os seguinte pontos:

A = - 3   ; 2   ;   - 4           e           B = 3   ; 2   ;   - 4

Perfeito. Lembra que:

∫ C F   d r = ∫ A B F   d r = f B - f A

Onde o nosso campo (não! Não é o programa) é definido assim:

F → = 2 x z + y 2     ;     2 x y + 3 y 2     ;     e z + x 2

Então agora só precisamos obter esse f para enfim obter a resposta do exercício.

Bom, lembra que na letra A concluímos que esse f é definido assim:

∇ f = F

Então vamos abrir essa expressão:

∂ f x , y , z ∂ x = 2 x z + y 2       ( I )

∂ f x , y , z ∂ y = 2 x y + 3 y 2             I I

E

∂ f x , y , z ∂ z = e z + x 2             I I I

Passo 3

Ta comigo? Vamos integrar qualquer uma daquelas expressões para tentar achar o f :

∫ ∂ f = ∫ 2 x z + y 2 ∂ x

Teremos:

f x , y , z = x 2 z + y 2 x + P y , z

Peraí? Da onde saiu aquele P ali?? Seguinte, estamos simplesmente admitindo que possa existir uma função que não seja dependente de x . Porque se ela não é dependente de x a hora que derivamos ela é considerada uma constante e então desaparece.

Vamos então assumir que aquela expressão seja verdadeira; se derivarmos ela em função de y esperamos obter I I .

∂ f x , y , z ∂ y = 0 + 2 y x + P ' y , z

Isso tem que ser igual a I I , então:

∂ f x , y , z ∂ y = 2 x y + 3 y 2 = 0 + 2 x y + P ' y , z

A única forma de isso ser verdade é se:

P ' y , z = 3 y 2

E então:

∫ P ' y , z = ∫ 3 y 2   ∂ y

Encontramos:

P y , z = 3 y 3 3 = y 3 + T z

Novamente, estamos admitindo a possibilidade de existir algo em função de z ; no final das contas a nossa função f tem a seguinte cara, até agora:

f x , y , z = x 2 z + y 2 x + y 3 + T z

Agora, se derivamos isso em z , vamos querer achar a função I I I .

∂ f x , y , z ∂ z = x 2 + 0 + 0 + T ' z = e z + x 2

Huuuummm interessante, então a única possibilidade:

T ' z = e z

Integrando isso:

∫ T ' z = ∫ e z   d z

Obtemos:

T z = e z

Então no final de todo esse rolê, obtemos a seguinte forma para a função f :

f x , y , z = x 2 z + y 2 x + y 3 + e z

Ufa! Deu pra suar um bocado! Mas falta terminar o bang

Então:

∫ C F   d r = ∫ A B F   d r = f B - F A

Conseguimos encontrar esses f aê lembrando que os nossos pontos são: A - 3   ; 2   ; - 4     e     B 3 ; 2 ;   - 4 .

f A = - 3 2 - 4 + 2 2 - 3 + 2 3 + e - 4 = 1 e 4 - 40

E

f B = 3 2 - 4 + 2 2 3 + 2 3 + e - 4 = 1 e 4 - 16

Portanto:

∫ C F   d r   = 1 e 4 - 16 - 1 e 4 - 40 = 24

Acho que é isso!! Haahhahaha

Até a próxima!

Resposta

Só concluindo,

∫ C F   d r = 24

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