Calcule

d) lim x → + ∞ ⁡ e 3 x x 2

Passo 1

Perceba que quando tentamos substituir x = + ∞ no limite, chegamos a uma indeterminação do tipo “ ∞ ∞ ” :

lim x → + ∞ ⁡ e 3 x x 2 → e ∞ ∞ → ∞ ∞

Passo 2

Então, para resolver o limite, vamos aplicar a Regra de L’Hospital, assim:

lim x → + ∞ ⁡ e 3 x x 2 = lim x → + ∞ ⁡ e 3 x ' x 2 ' = lim x → + ∞ ⁡ e 3 x 3 2 x = lim x → + ∞ ⁡ 3 e 3 x 2 x

Repare que substituindo x = + ∞ , ainda temos o mesmo tipo de indeterminação:

lim x → + ∞ ⁡ 3 e 3 x 2 x → 3 e ∞ ∞ → ∞ ∞

Passo 3

Assim, vamos aplicar L’Hospital mais uma vez:

lim x → + ∞ ⁡ 3 e 3 x 2 x = lim x → + ∞ ⁡ 3 e 3 x ' 2 x ' = lim x → + ∞ ⁡ 3 e 3 x 3 2 = lim x → + ∞ ⁡ 9 e 3 x 2

Substituindo x = + ∞ , não há mais indeterminação:

lim x → + ∞ ⁡ 9 e 3 x 2 → 9 e + ∞ 2 → + ∞

Logo,

lim x → + ∞ ⁡ e 3 x x 2 = + ∞

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ e 3 x x 2 = + ∞

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