Enunciado

10. Seja B ⊂ ℝ3 um conjunto limitado, com fronteira de conteúdo nulo, eseja f: B → ℝ uma função contínua tal que f (x, y, z) ≥ 0 em B. Suponhaque

∫ ∫ ∫ B 1 f x , y , z d x d y d z = 0

Prove que f (x, y, z) = 0 em todo ponto interior de B

Passo 1

Uma das propriedades de integral de volume é que

∫ ∫ ∫ B 1 d x d y d z > 0

Para todos os casos possíveis dentro de b 1 . Logo a integral só fica negativa caso a função que estamos integrando seja negativa em sua maior parte. Como o enunciado nos garante que para todo intervalo temos que nossa função é unicamente maior ou igual a zero

f   x ,   y ,   z ≥   0  

Logo isso implica que nossa integração também fique maior ou igual a zero

∫ ∫ ∫ B 1 f x , y , z d x d y d z ≥ 0

Passo 2

Para que exista essa possibilidade

∫ ∫ ∫ B 1 f x , y , z d x d y d z = 0

Logo obrigatoriamente

f x , y , z = 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule
Calculej) ∫ ∫ ∫ B 2 ⋅ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 + y 2 ≤ 1 , x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 e z ≥ 0 .
Calculef) ∫ ∫ ∫ B x 2 + z 2 ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o cilindro x 2 + y 2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 .
Calculeq) ∫ ∫ ∫ B cos ⁡ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto 0 ≤ x ≤ π 2 , 0 ≤ y ≤ π 2 e x - y ≤ z ≤ x + y .
Calculeh) ∫ ∫ ∫ B y ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 + 4 ⋅ y 2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 .