Seja f(x) = cotg x . Calcule.

a) f'(x)

b) f'(pi / 4)

Passo 1

a) A derivada de f pode ser calculada pelo limite:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = lim h → 0 ⁡ cotg ⁡ x + h - cotg ⁡ x h

lim h → 0 ⁡ cotg ⁡ x + h - cotg ⁡ x h = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x + h sen ⁡ x + h - cos ⁡ x sen ⁡ x h

f ' x = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ x + h - sen ⁡ x + h cos ⁡ x h sen ⁡ x + h sen ⁡ x

Se pelo seno da diferença temos sen ⁡ a - b = sen ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ b cos ⁡ a , então:

sen ⁡ x cos ⁡ x + h - sen ⁡ x + h cos ⁡ x = sen ⁡ x - x - h = sen ⁡ - h = - sen ⁡ h

Assim:

f ' x = lim h → 0 ⁡ - sen ⁡ h h sen ⁡ x + h sen ⁡ x = lim h → 0 ⁡ - sen ⁡ h h ⋅ 1 sen ⁡ x + h sen ⁡ x = - 1 ⋅ 1 sen 2 ⁡ x

Como 1 sen ⁡ x = cosec ⁡ x , concluímos que:

f ' x = - cosec 2 ⁡ x

Passo 2

b) Se f ' x = - cosec 2 ⁡ x , então:

f ' π 4 = - cosec 2 ⁡ π 4 = - 1 sen ⁡ π 4 2 = - 2 2 2 = - 4 2 = - 2

f ' π 4 = - 2

Resposta

f ' π 4 = - 2

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