Enunciado

Seja f (x) = cotg x . Calcule.

a) f^' (x)

b) f^' ((pi)/(4))

Passo 1

a) A derivada de f pode ser calculada pelo limite:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f (x))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (cotg (x + h) - cotg x)/(h)

underset(h -> 0)(lim) (cotg (x + h) - cotg x)/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((cos (x + h))/(sen (x + h)) - (cos x)/(sen x))/(h)

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (sen x cos (x + h) - sen (x + h) cos x)/(h sen (x + h) sen x)

Se pelo seno da diferença temos sen (a - b) = sen a cos b - sen b cos a , então:

sen x cos (x + h) - sen (x + h) cos x = sen (x - x - h) = sen (- h) = - sen h

Assim:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (- sen h)/(h sen (x + h) sen x) = underset(h -> 0)(lim) (- sen h)/(h) * (1)/(sen (x + h) sen x) = - 1 * (1)/(sen^2 x)

Como (1)/(sen x) = cosec x , concluímos que:

f^' (x) = - cosec^2 x

Passo 2

b) Se f^' (x) = - cosec^2 x , então:

f^' ((pi)/(4)) = - cosec^2 (pi)/(4) = - ((1)/(sen (pi)/(4)))^2 = - ((2)/(sqrt(2)))^2 = - (4)/(2) = - 2

f^' ((pi)/(4)) = - 2

Resposta

f^' ((pi)/(4)) = - 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

39-50 Encontre os limites.49. lim x → π / 4 ⁡ 1 - tg ⁡ x sen ⁡ x - cos ⁡ x
39-50 Encontre os limites.47. lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ - 1 2 θ 2
1 – 16 Derive.1. f x = x 2 sen ⁡ x
1 – 16 Derive.15. f t = t e t co tg ⁡ t
1 – 16 Derive.14. y = sen ⁡ t 1 + tg ⁡ t