Enunciado

Seja y = f ( x ) uma curva lisa no intervalo a , b e suponha que f x ≥ 0 com a ≤ x ≤ b . Pelo Teorema do Valor Extremo (4.4.2), a função f tem um valor máximo K e um valor mínimo k em [ a , b ] . Prove: Se L for o comprimento de curva y = f ( x ) entre x = a e x = b , e se S for a área da superfície gerada quando essa curva gira em torno do eixo x , então

2 π k L ≤ S ≤ 2 π K L

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove que:

2 π k L ≤ S ≤ 2 π K L

Precisamos usar essa fórmula aqui para fazer essa prova:

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

E precisamos lembrar que o comprimento do arco tem essa cara:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Vamos refletir!

Passo 2

Pelo Teorema que é mencionado no enunciado:

k ≤ f x ≤ K

Se a gente multiplicar tudo por 2 π 1 + f ' x 2 :

2 π k 1 + f ' x 2 ≤ 2 π f x 1 + f ' x 2 ≤ 2 π K 1 + f ' x 2

Se integrarmos tudo:

∫ a b 2 π k 1 + f ' x 2 d x ≤ ∫ a b 2 π f ( x ) 1 + f ' x 2 d x ≤ ∫ a b 2 π K 1 + f ' x 2 d x

Tirando as constantes da integrais:

2 π k ∫ a b 1 + f ' x 2 d x ≤ 2 π ∫ a b f x 1 + f ' x 2 d x ≤ 2 π K ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Repara que apareceram nossas relações lá do primeiro passo!

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

E nossas inequações ficam:

2 π k L ≤ S ≤ 2 π K L

Que é exatamente o que precisamos provar!

Resposta

Prova desenvolvida nos passos.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 21-24, determine as áreas de superfícies geradas pela rotação das curvas em torno dos eixos dados.23. x = 4 y - y 2, 1 ≤ y ≤ 2 ; e i x oy
Nos Exercícios 21-24, determine as áreas de superfícies geradas pela rotação das curvas em torno dos eixos dados.22. y = x 3 / 3, 0 ≤ x ≤ 1 ; e i x ox
Esboce a região delimitada pelas curvas, e visualmente estime a localização do centroide. A seguir, calcule as coordenadas exatas do centroide. 25 .y = 4 - x 2 , y = 0
40 - Conforme visto no Exercício 39, o centroide do semicírculo y = a 2 - x 2 está no ponto ( 0,2 a π ). Determine a área da superfície gerada pela rotação do semicírculo em torno da reta a = y .
39 - Use o teorema de Pappus para área de superfície e o fato de que a área de superfície de uma esfera de raio a é 4 π a 2 para determinar o centroide do semicírculo y = a 2 - x 2