Seja f: [0,1] -> R dada por

f ( x ) = 0   s e   x   ∉   0 , 1 2 , 1   1   s e   x   ∈   0 , 1 2 , 1

Prove que f é integrável em [0,1] e que

∫ 0 1 f ( x ) d x = 0

Passo 1

Sabemos que f é integrável, logo:

∫ a b f ( x ) d x = lim max  △ x  → 0 ⁡ ∑ i = 1 n f ( c i ) △ x i

Está parecendo complicado? Calma, fica tranquilo que vamos fazer isso juntos. Vem comigo!

Passo 2

Inicialmente, nós temos esse problema aqui:

f ( x ) = 0   s e   x   ∉   0 , 1 2 , 1   1   s e   x   ∈   0 , 1 2 , 1

Aplicando ao problema, devemos encontrar uma forma de calcular o que está interno ao somatório. Assim, temos:

f ( c i )   =   0   s e   c i   ∉   0 , 1 2 , 1   1   s e   c i   ∈   0 , 1 2 , 1

Multiplicando pelo △ x i :

f ( c i ) △ x i   =   0   s e   c i   ∉   0 , 1 2 , 1   △ x i   s e   c i   ∈   0 , 1 2 , 1

Passo 3

Note que somente em 3 casos haverá um valor diferente de 0 , sendo igual à △ x i .

∫ 0 1 f ( x ) d x = l i m m a x   △ x   → 0 ( △ x i + △ x i + △ x i )  

Assim, uma vez que △ x i tende à 0 , pode-se dizer que todos os termos do somatório são iguais (pelo menos tendem).

∫ 0 1 f ( x ) d x = ( 0 + 0 + 0 )  

Passo 4

Já que todos os termos do somatório são iguais à 0 , pode-se afirmar que o somatório é igual à 0 .

∫ 0 1 f ( x ) d x = 0

Resposta

f ( x ) é integrável no intervalo [ 0,1 ] , sendo igual à zero.

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