Enunciado

Seja f : 0,1 → R dada por f ( x ) = x   s e   x   ∈   Q   0   s e   x   ∉   Q

  1. Verifique que se os c i forem racionais ∑ i = 1 n f c i △ x i tende a 1 2 , quando m a x   △ x   → 0 .
  2. Prove que f não é integrável em 0,1 .

Passo 1

Sabemos que f é integrável, segundo Riemann, se

∫ a b f ( x ) d x = lim max  △ x  → 0 ⁡ ∑ i = 1 n f ( c i ) △ x i

Independente dos valores de c i .

Passo 2

Aplicando ao problema, deve-se encontrar uma forma de calcular oque está interno ao somatório. Assim, temos

f c i △ x i = c i △ x i   s e   c i   ∈   Q   0   s e   c i   ∉   Q

Isso acontece porque f ( c i ) é c i para c i   ∈   Q   e 0 para c i   ∉   Q .

Passo 3

Note que o valor dependerá de c i ser um número racional ou não. Assim, já pode-se afirmar que a integral não existe. No entanto a “letra a” pede que calcule o somatório considerando apenas c i racionais e a “letra b” pede pra provar que a integral não existe, então ainda há trabalho!

Passo 4

Resolvendo a “letra a”, você pode achar que, por △ x   → 0 , o somatório também é zero. Isto está errado!

Apesar de △ x   → 0 , ele ainda é um número muito pequeno, que somado muitas vezes tende a ser um número considerável. Assim, vamos tentar fazer esse somatório, reescrevendo △ x i como x i   - x i - 1 e c i como x i   + x i - 1 2 .

Para c i racionais,

∑ i = 1 n f c i △ x i =   ∑ i = 1 n c i △ x i

= ∑ i = 1 n x i   + x i - 1 2 x i   - x i - 1

= ∑ i = 1 n x i 2   - x i - 1 2 2

= x 1 2   - 0 2 2 + x 2 2   - x 1 2 2 + x 3 2   - x 2 2 2 ⋯ + x n - 1 2   - x n - 2 2 2 + x n - 1 2   - x n - 2 2 2 + 1 2   - x n - 1 2 2

Lembrando que 0 e 1 são as extremidades do intervalo. Observe que com excessão dessas duas extremidades, todos aparecem uma vez positivo e uma vez negativo, ou seja, são cancelados.

Assim é possível simplificar,

Para c i racionais,

∑ i = 1 n f c i △ x i = 1 2   - 0 2 2

Logo,

∑ i = 1 n f c i △ x i = 1 2

Passo 5

Resolvendo a “letra b”, você precisa apenas analisar a idéia de que o resultado independe da escolha dos valores de c i .

Do enunciado, se irracional, o resultado é zero, e do Passo 4, se racional, o resultado é 1 2 . Logo é a integral não existe.

Resposta

Letra a - O valor do somatório é 1 2 , para a escolha de c i com valores racionais.

Letra b - Como o resultado depende do valor de c i ser racional ou irracional, não existe uma integral (segundo Riemann).

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