Enunciado

Suponha que f é contínua em [a , b] . Prove

int_a^b [f ( x )]^2 d x = 0 ⟺ f ( x ) = 0 e m [a , b]

Passo 1

O primeiro passo é saber oque foi dito na afirmação.

O símbolo “ ” é um operador lógigo que significa dizer: “lado esquerdo” é verdadeiro se e somente se “lado direito” for verdadeiro.

Algo importante a ressaltar é que a integral é de [f ( x )]^2 , isto é, um pouco diferente do que geralmente é pedido.

Passo 2

Agora vamos retomar o teorema do valor médio para integral,

int_a^b f ( x ) d x = f ( c ) (b - a)

podendo ser reescito,

f ( c ) = (int_a^b f ( x ) d x)/((b - a))

Também sabe-se que, para o intervalo dado, esse valor de f ( c ) é maior que o mínimo valor de f e menor que o máximo valor de f , isto é,

f_m i n <= f ( c ) <= f_m a x

Passo 3

Vamos reescrever o teorema, do passo anterior, usando [f ( x )]^2

[f ( c )]^2 = (int_a^b [f ( x )]^2 d x)/((b - a))

E também,

f^2_m i n <= [f ( c )]^2 <= f^2_m a x

Passo 4

Considerando int_a^b [f ( x )]^2 d x = 0 , como no enunciado,

[f ( c )]^2 = (int_a^b [f ( x )]^2 d x)/((b - a)) = (0)/((b - a))

E isso implica que,

f^2_m i n <= 0 <= f^2_m a x

Passo 5

Vamos refletir então!

Para que o f^2_m i n seja menor ou igual que 0 e mesmo assim respeite que qualquer número, positivo ou negativo, quando elevado ao quadrado, resulta em um número positivo, f^2_m i n tem que ser 0 .

Para que o f^2_m a x seja maior ou igual que 0 e mesmo assim respeite que qualquer número, positivo ou negativo, quando elevado ao quadrado, resulta em um número positivo e int_a^b [f ( x )]^2 d x = 0 , f^2_m a x tem que ser 0 .

Sendo os valores máximo e mínimo de [f ( x )]^2 iguais à 0 , [f ( x )]^2 tem que ser 0 . Consequentemente, f ( x ) também tem que ser 0 , obrigatoriamente! (afinal, que outro número elevado ao quadrado seria 0 ?)

Resposta

A a f i r m a ç ã o é v e r d a d e i r a .

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