Calcule

lim x → 1 ⁡ 3 x + 5 3 - 2 x 2 - 1

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função f x = 3 x + 5 3 - 2 x 2 - 1 quando x se aproxima de 1 .

Repare que substituindo x = 1 na função, temos uma indeterminação do tipo 0 0 . Então, pra fugir dessa indeterminação, vamos tentar manipular a nossa expressão para simplificar o resultado e conseguir aplicar o valor do limite.

Vamos lá!

Passo 2

Se supormos que existam funções g u e u = f x , onde g ou é contínua em a ou não está definida em a , tais que:

F x = g u

onde u = f x , x ∈ D f , lim x → p ⁡ f x = a ( u → a para x → p ). E que lim u → a ⁡ g u exista. Então:

lim x → p ⁡ F x = lim u → a ⁡ g u

Vamos então achar essas funções.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição, vamos fazer que:

3 x + 5 3 = u 3

onde u = 3 x + 5 → x = u - 5 3 . Vamos então definir esse novo limite:

3 x + 5 3 - 2 x 2 - 1 = u 3 - 2 u - 5 3 2 - 1

Expandindo o produto notável no denominador:

= u 3 - 2 u 2 - 10 u + 25 9 - 1

= u 3 - 2 u 2 - 10 u + 16 9

Fazendo a divisão de frações:

= u 3 - 2 ∙ 9 u 2 - 10 u + 16

= 9 u 3 - 2 u 2 - 10 u + 16

Além disso, quando x → 1 , temos u → 8 . Então, nosso limite fica:

lim x → 1 ⁡ 3 x + 5 3 - 2 x 2 - 1

= lim u → 8 ⁡ 9 u 3 - 2 u 2 - 10 u + 16

Passo 4

Vamos calcular então:

lim u → 8 ⁡ 9 u 3 - 2 u 2 - 10 u + 16 = 9 lim u → 8 ⁡ u 3 - 2 u 2 - 10 u + 16

Vamos tentar multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pela expressão de u 3 - 2 2 = u 2 3 + 2 u 3 + 4 :

lim u → 8 ⁡ u 3 - 2 u 2 - 10 u + 16 = lim u → 8 ⁡ u 3 - 2 u 2 - 10 u + 16 ∙ u 2 3 + 2 u 3 + 4 u 2 3 + 2 u 3 + 4

Agora aplicando a distributiva no produto:

= lim u → 8 ⁡ u 3 3 + 2 u 2 3 + 4 u 3 - 2 u 2 3 - 4 u 3 - 8 x - 2 x - 8 u 2 3 + 2 u 3 + 4

E simplificando, temos:

= lim u → 8 ⁡ u - 8 u - 2 u - 8 u 2 3 + 2 u 3 + 4

= lim u → 8 ⁡ 1 u - 2 u 2 3 + 2 u 3 + 4

Passo 5

Agora é só necessário substituir o valor 8 na expressão e pronto:

=   1 8 - 2 8 2 3 + 2 8 3 + 4

= 1 6 4 + 2 ∙ 2 + 4

= 1 6 ∙ 12 = 1 72

E por fim temos que:

lim u → 8 ⁡ 9 u 3 - 2 u 2 - 10 u + 16 = 9 lim u → 8 ⁡ u 3 - 2 u 2 - 10 u + 16

= 9 ∙ 1 72 = 1 8

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 1 ⁡ 3 x + 5 3 - 2 x 2 - 1 = 1 8

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