Enunciado

Seja f x =     - x + 3         s e     x < 3 x - 3       s e     x ≥ 3

a) f é derivável em 3 ? Justifique.

b) f é contínua em 3 ? Justifique.

Passo 1

a) A função será derivável em 3 , se as suas derivadas laterais existirem e forem iguais:

Para x < 3 , temos f x = - x + 3 , então, f ' x = - 1

Assim, f ' 3 - = - 1

Para x ≥ 3 , temos f x = x - 3 , então, f ' x = 1

Assim, f ' 3 + = 1

As derivadas laterais não são iguais, assim, concluímos que f não é derivável em 3 .

Passo 2

b) Se os limites laterais forem iguais à função a função será contínua:

Como temos:

lim x → 3 - ⁡ f x = lim x → 3 - ⁡ - x + 3 = 0

E

lim x → 3 + ⁡ f x = lim x → 3 + ⁡ x - 3 = 0

E também:

f 3 = 3 - 3 = 0

Assim, temos que lim x → 3 ⁡ f x = f 3 e, portanto, f é contínua em 3 .

Resposta

a) f não é derivável em 3 .

b)   f é contínua em 3 .

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