a) ∫ 1 x + 1 ⋅ x - 1 d x  

Passo 1

Quando tivermos um polinômio fatorado no denominador, é interessante usar frações parciais!

I = ∫ 1 x + 1 ⋅ x - 1 d x

O nome pode ser complicado, mas a ideia é simples! Vamos quebrar o denominador em duas partes:

1 x + 1 ⋅ x - 1 = A x + 1 + B x - 1

Sacou?!

Passo 2

Agora vamos mexer com o lado direito:

A x + 1 + B x + 1 = A x + 1 ⋅ x - 1 x - 1 + B x - 1 ⋅ x + 1 x + 1

Fazendo as distributivas:

A x - A + B x + B x + 1 ⋅ x - 1 = A + B x + B - A x + 1 ⋅ x - 1

Assim:

1 x + 1 ⋅ x - 1 = A + B x + B - A x + 1 ⋅ x - 1

Agora é só comparar os coeficientes do numerador:

  0 ⋅ x + 1 = A + B x + ( B - A )

A + B = 0       ( i ) B - A = 1       ( i i )

De ( i ) :

A = - B

Substituindo em ( i i ) :

B - - B = 1 → 2 ⋅ B = 1

Logo,

B = 1 2   e   A = - 1 2

Passo 3

Agora vamos resolver a integral!

Nossa integral era assim:

I = ∫ 1 x + 1 ⋅ x - 1 d x

E vai ficar assim:

I = ∫ - 1 2 x + 1 d x + ∫ 1 2 x - 1 d x =   - 1 2 ⋅ ∫ 1 x + 1 d x + 1 2 ⋅ ∫ 1 x - 1 d x  

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

I =   - 1 2 ⋅ ln ⁡ x + 1 + 1 2 ⋅ ln ⁡ x - 1 + c

Resposta

- 1 2 ⋅ ln ⁡ x + 1 + 1 2 ⋅ ln ⁡ x - 1 + c

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