Enunciado

A função y = f x , y > 0 , é dada implicitamente por x 2 + 4 y 2 = 2 . Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f , no ponto de abscissa 1 .

Passo 1

Para achar a reta tangente, podemos usar a fórmula:

y - y 0 = f ' x 0 x - x 0

Onde y 0 = f x 0 .

O problema forneceu que x 0 = 1 , quando ele pede a reta no ponto de abscissa 1 .

Então agora devemos calcular y 0 e f ' x 0 . Bora lá!

Passo 2

Primeiro vamos achar y 0 temos que:

f x = x 2 + 4 y 2 = 2

Então,

f x 0 = x 0 2 + 4 y 0 2 = 2

Substituindo x 0 = 1 .

1 + 4 y 0 2 = 2

4 y 0 2 = 1

y 0 2 = 1 4

y 0 = ± 1 2

Se o enunciado afirma que y > 0 , então y 0 = 1 2 .

Passo 3

Para f ' x 0 , devemos primeiramente derivar implicitamente a função em relação a x , para isso, devemos lembrar que a derivada de y é f ' x , assim:

x 2 ' + 4 y 2 ' = 2 '

2 x + 4 ⋅ 2 ⋅ y ⋅ y ' = 0

2 x + 8 y y ' = 0

Isolando y ' . E lembrando que y ' = f ' x , ficamos com

f ' x = - x 4 y

Então, para x 0 = 1 e y 0 = 1 2 , temos:

f ' x 0 = f ' 1 = - x 0 4 y 0 = - 1 4 1 2 = - 1 2

Passo 4

Assim, retomando a fórmula y - y 0 = f ' x 0 x - x 0 , temos:

y - 1 2 = - 1 2 x - 1

y - 1 2 = - 1 2 x + 1 2

y = - 1 2 x + 1

Logo, a equação da reta tangente é dada por

y = - 1 2 x + 1

Resposta

y = - 1 2 x + 1

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