Seja f(x) = x / (x - 2) . Determine uma função y = g(x) de modo que (f∘g)(x) = x

Passo 1

Em um primeiro ponto de vista, esta é uma questão que assusta. Como vamos descobrir esta função g ( x ) ? Na verdade, o procedimento é simples. Basta substituir toda g ( x ) na função f ( x ) , como uma função composta, e assim é só isolar esta g ( x ) . A visualização de toda a questão é facilitada ao fazermos a seguinte mudança:

u = g ( x )

Basta descobrirmos o valor de u tal que f u = x .

Passo 2

Vamos começar por determinar quem é f ( u ) . Assim temos:

f u = u u - 2

Passo 3

Como queremos f u = x , vamos resolver esta equação:

f u = u u - 2 = x

u = x ⋅ ( u - 2 )

u = x ⋅ u - 2 x

u - x ⋅ u = - 2 x

u ⋅ 1 - x = - 2 x

u = - 2 x 1 - x

Passo 4

Lembrando que u = g ( x ) , a função g ( x ) tal que f ∘ g x = x é:

g x = - 2 x 1 - x

Resposta

g x = - 2 x 1 - x

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