Enunciado

Seja f (x) = (x)/(x - 2) . Determine uma função y = g ( x ) de modo que (f @ g) (x) = x

Passo 1

Em um primeiro ponto de vista, esta é uma questão que assusta. Como vamos descobrir esta função g ( x ) ? Na verdade, o procedimento é simples. Basta substituir toda g ( x ) na função f ( x ) , como uma função composta, e assim é só isolar esta g ( x ) . A visualização de toda a questão é facilitada ao fazermos a seguinte mudança:

u = g ( x )

Basta descobrirmos o valor de u tal que f (u) = x .

Passo 2

Vamos começar por determinar quem é f ( u ) . Assim temos:

f (u) = (u)/(u - 2)

Passo 3

Como queremos f (u) = x , vamos resolver esta equação:

f (u) = (u)/(u - 2) = x

u = x * ( u - 2 )

u = x * u - 2 x

u - x * u = - 2 x

u * (1 - x) = - 2 x

u = (- 2 x)/(1 - x)

Passo 4

Lembrando que u = g ( x ) , a função g ( x ) tal que (f @ g) (x) = x é:

g (x) = - (2 x)/(1 - x)

Resposta

g (x) = - (2 x)/(1 - x)

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