Enunciado

Seja f x = x 3 + x 2 - 5 x .

  1. Estude o sinal de f ' x .
  2. Calcule lim x → + ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .
  3. Utilizando as informações acima, faça um esboço do gráfico de f .

Passo 1

  1. Vamos analisar a função, ela é um polinômio, vamos ter então que usar a fórmula da derivada de polinômio e da multiplicação por constante para achar f ' x :
  2. Do polinômio:

    x n ' = n x n - 1

    Da multiplicação por constante:

    k f x ' = k f ' ( x )

    Agora é só aplicar, vamos lá?

    f ' x = x 3 ' + x 2 ' - 5 x ' = 3 x 3 - 1 + 2 ⋅ x 2 - 1 - 5 x ' = 3 x 2 + 2 x - 5 x 1 - 1 = 3 x 2 + 2 x - 5

    Passo 2

    Vamos agora estudar o sinal, como achamos uma equação do segundo grau, temos que a = 3 , como a > 0 então a concavidade da parábola é voltada pra cima.

    Vamos então achar as raízes, usando Bhaskara, onde temos que a = 3 , b = 2 e c = - 5 :

    x = - b ± b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c 2 a = - 2 ± 2 2 - 4 ⋅ 3 ⋅ - 5 2 ⋅ 3 = - 2 ± 4 + 60 6 = - 2 ± 64 6 = - 2 ± 8 6

    x 1 = - 2 + 8 6 = 6 6 = 1

    x 2 = - 2 - 8 6 = - 10 6 = - 5 3

    As raízes ficam no gráfico da seguinte forma:

    Temos então que f ' x > 0 quando:

    - ∞ , - 5 3 e 1 , + ∞

    E f ' x < 0 :

    - 5 3 , 1

    Passo 3

  3. Vamos calcular os limites:
  4. lim x → + ∞ ⁡ x 3 + x 2 - 5 x = lim x → + ∞ ⁡ x 3 1 + 1 x - 5 x 2 = + ∞ 1 + 0 - 0 = + ∞

    lim x → - ∞ ⁡ x 3 + x 2 - 5 x = lim x → - ∞ ⁡ x 3 1 + 1 x - 5 x 2 = - ∞ 1 + 0 - 0 = - ∞

    Passo 4

  5. Vamos fazer um esboço do gráfico da função utilizando as raízes e atribuindo alguns pontos aleatórios, assim temos:

Resposta

  1. f ' x > 0 em - ∞ , - 5 3 e 1 , + ∞ , f ' x < 0 em - 5 3 , 1  
  2. lim x → + ∞ ⁡ x 3 + x 2 - 5 x = + ∞ e lim x → - ∞ ⁡ x 3 + x 2 - 5 x = - ∞
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