Calcule F'(x) onde F(x) é igual a

x + raiz(x, 4) / x^2 + 3

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que:

f x = x + x 4

e

g x = x 2 + 3

Vamos agora só montar na fórmula:

F ' x = x + x 4 x 2 + 3 ' = x + x 4 ' ⋅ x 2 + 3 - x + x 4 ⋅ x 2 + 3 ' x 2 + 3 2

Passo 2

Vamos calcular f ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

x n ' = n x n - 1

Assim:

f ' ( x ) = x + x 4 ' = x + x 1 4 ' = x 1 - 1 + 1 4 ⋅ x 1 4 - 1 = x 0 + 1 4 ⋅ x 1 - 4 4 = 1 + 1 4 ⋅ x - 3 4 = 1 + 1 4 x 3 4 = 1 + 1 4 x 3 4

Com g ' ( x ) vamos usar também outra regra, a da função constante:

c ' = 0

Aplicando:

g ' ( x ) = x 2 + 3 ' = 2 x 2 - 1 + 0 = 2 x

Passo 3

Agora é só substituir na expressão e pronto:

F ' x = x + x 4 x 2 + 3 ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2 = 1 + 1 4 x 3 4 ⋅ x 2 + 3 - x + x 4 ⋅ 2 x x 2 + 3 2 = x 2 + 3 + x 2 + 3 4 x 3 4 - 2 x 2 - 2 x x 4 x 2 + 3 2 = - x 2 + 3 + x 2 + 3 4 x 3 4 - 2 x x 4 x 2 + 3 2 = - x 2 4 x 3 4 + 12 x 3 4 + x 2 + 3 - 8 x x 4 4 4 x 3 4 x 2 + 3 2 = - x 2 4 x 3 4 + 12 x 3 4 + x 2 + 3 - 8 x x 4 4 4 x 3 4 ⋅ 1 x 2 + 3 2 = - x 2 4 x 3 4 + 12 x 3 4 + x 2 + 3 - 8 x 2 4 x 3 4 x 2 + 3 2 = - 4 x 11 4 + 12 x 3 4 + 3 - 7 x 2 4 x 3 4 x 2 + 3 2

Resposta

F ' x = - 4 x 11 4 + 12 x 3 4 + 3 - 7 x 2 4 x 3 4 x 2 + 3 2

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