Calcule f'(x) .

f(x) = (x + 1) / (x \* ln(x))

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

h x g x ' = h ' x g x - h x g ' x g x 2

Temos que:

h x = x + 1

e

g x = x ln ⁡ x

Vamos agora só montar na fórmula:

f ' x = x + 1 x ln ⁡ x ' = x + 1 ' ⋅ x ln ⁡ x - x + 1 ⋅ x ln ⁡ x ' x ln ⁡ x 2

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da função logarítmica natural:

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra do polinômio e da função constante:

h ' x = x + 1 ' = x 1 - 1 + 0 = x 0 = 1

Já para calcular g ' x vamos usar a regra do produto:

r x s x ' = r ' x s x + s ' x r x

Temos que:

r x = x

e

s x = ln ⁡ x

Assim:

g ' x = x ln ⁡ x ' = r ' x s x + s ' x r x = x ' ⋅ ln ⁡ x + ln ⁡ x ' ⋅ x

Passo 4

Vamos calcular r ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

r ' ( x ) = x ' = x 1 - 1 = x 0 = 1

Com s ' ( x ) vamos usar a regra da função logarítmica natural:

s ' x = ln ⁡ x ' = 1 x ⋅ x ' = 1 x ⋅ x 1 - 1 = 1 x ⋅ x 0 = 1 x ⋅ 1 = 1 x

Passo 5

Agora é só substituir de volta na fórmula:

g ' x = x ' ⋅ ln ⁡ x + ln ⁡ x ' ⋅ x = 1 ⋅ ln ⁡ x + 1 x ⋅ x = ln ⁡ x + 1

Passo 6

Agora é só voltar na primeira fórmula e pronto:

f ' x = x + 1 x ln ⁡ x ' = x + 1 ' ⋅ x ln ⁡ x - x + 1 ⋅ x ln ⁡ x ' x ln ⁡ x 2 = 1 ⋅ x ln ⁡ x - x + 1 ⋅ ln ⁡ x + 1 x ln ⁡ x 2 = x ln ⁡ x - x ln ⁡ x - x - ln ⁡ x - 1 x ln ⁡ x 2 = - x - ln ⁡ x - 1 x ln ⁡ x 2

Resposta

f ' ( x ) = - x - ln ⁡ x - 1 x ln ⁡ x 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados