Enunciado

Seja f x , y = x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 .

  1. Dê exemplo de uma curva γ t , diferenciável, cuja imagem esteja contida na superfície de nível x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 1 .
  2. Verifique que ∇ f γ t ∙ γ ' t = 0 . Interprete graficamente.

Passo 1

a) A superfície de nível é:

x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 1

Se considerarmos z = 0 :

x 2 + 4 y 2 = 1

Agora vamos parametrizar, olha só:

x 2 + 2 y 2 = 1

Logo,

x = s e n ( t ) e y = cos ⁡ t 2

Portanto, uma possível imagem de γ t é:

γ t = s e n t , cos ⁡ t 2 , 0

Passo 2

A função que ele nos deu foi:

f x , y = x 2 + 4 y 2 + 9 z 2

Achando o gradiente, temos:

∇ f = 2 x ,   8 y ,   18 z

Usando o que achamos no item a), temos:

∇ f γ t = 2 sen ⁡ t , 4 cos ⁡ t , 0

Derivando a curva γ ( t ) que achamos no item a):

γ ' t = cos ⁡ t , - 1 2 sen ⁡ t , 0

Assim,

∇ f γ t ∙ γ ' t = 2 sen ⁡ t , 4 cos ⁡ t , 0 cos ⁡ t , - 1 2 sen ⁡ t , 0

Portanto,

∇ f γ t ∙ γ ' t = 2 sen ⁡ t cos ⁡ t - 2 sen ⁡ t cos ⁡ t = 0

Passo 3

b) Como o produto escalar deu zero isso significa geometricamente que o vetor gradiente é normal a curva γ ( t )

Resposta

a)

sen ⁡ t , 1 2 cos ⁡ t , 0

b)

O gradiente de f é ortogonal a γ ( t )

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