Enunciado

Seja f x , y = x y e seja γ t = x t , y t , t ∈ I , uma curva diferenciável cuja imagem está contida na curva de nível f x , y = 2 . Mostre que para todo t em I , γ ' t ∙ ∇ f γ t = 0 . Dê exemplo de uma curva cuja imagem esteja contida na curva de nível x y = 2 .

Passo 1

Sabendo que f x , y = x y e γ t = x t , y t , t ∈ I , é diferenciável e sua imagem está contida na curva de nível f x , y = 2 , temos que:

x t y t = 2

Derivando em relação a t :

x ' t y t + x t y ' t = 0

Ou seja,

y t , x t ∙ x ' t , y ' t = 0

Portanto,

∇ f γ t ∙ γ ' t = 0

A imagem da curva γ t = t , 2 t ,   t > 0 está contida na curva de nível x y = 2 .

Fim !!!

Resposta

γ t = t , 2 t

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Nos exercícios 18 a 24, representar geometricamente o campo gradiente definido pela função dada: u x , y = 2 x - y
Determinar e representar graficamente um vetor normal a curva dada no ponto indicado:b) y = 2 x 2 ; P - 1 ,2
Determinar e representar graficamente um vetor normal a curva dada no ponto indicado:a) 2 x 2 + 3 y 2 = 8 ; P 1 ,2
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