Enunciado

Seja f x = x - 3 x 1 3 . Faça o seguinte:

  1. Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
  2. Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
  3. Determine os intervalos nos quais f é crescente;
  4. Determine os intervalos nos quais f é decrescente;
  5. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Observe que f é contínua e derivável para todo x real. Assim, pelas regras de derivação:

f ' x = 1 - 3 . 1 3 x - 2 3 ⇒

f ' x = 1 - x - 2 3 ⇒

f ' x = 1 - 1 x 2 3 ⇒

f ' x = 1 - 1 x 2 3

Como f ' ( x ) não existe para x = 0 , assim temos um ponto crítico neste valor. Os demais pontos críticos de f ocorrem quando f ' x = 0 . Assim:

f ' x = 0 ⇒

1 - 1 x 2 3 = 0 ⇒

1 = 1 x 2 3 ⇒

x 2 3 = 1 ⇒

x = ± 1

Assim os pontos críticos de f ocorrem quando x = - 1 , x = 0 ou x = 1 .

Passo 2

Para determinar se f tem um extremo relativo em x = - 1 ,   x = 0 ou x = 1 devemos aplicar o teste da primeira derivada. Assim:

→ x < - 1 :

f ' x > 0 e f é crescente.

→ - 1 < x < 0 :

f ' x < 0 e f é decrescente.

→ 0 < x < 1 :

f ' x < 0 e f é decrescente.

→ x > 1 :

f ' x > 0 e f é crescente.

Logo, pelo teste da primeira derivada, em x = - 1 temos um ponto de máximo relativo e em x = 1 temos um ponto de mínimo relativo de f .

Passo 3

Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de f x = x - 3 x 1 3 . O gráfico é dado por:

Resposta

Portanto, f x = x - 3 x 1 3 é crescente em - ∞ ,   - 1 e ( 1 ,   + ∞ ) , é decrescente em - 1 ,   1 , admite máximo relativo em x = - 1 e mínimo relativo em x = 1 .

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