Enunciado

Seja f x = x - 2 x + 2 . Faça o seguinte:

  1. Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
  2. Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
  3. Determine os intervalos nos quais f é crescente;
  4. Determine os intervalos nos quais f é decrescente;
  5. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Observe que f é uma função de divisão polinomial, logo é contínua e derivável para todo x real exceto para x = - 2 , onde possui descontinuidade. Assim, pelas regras de derivação:

f ' x = 1 . x 0 - 0 . x + 2 - 1 . x 0 + 0 x - 2 x + 2 2 ⇒

f ' x = x + 2 - ( x - 2 ) x 2 + 4 x + 4 ⇒

f ' x = x + 2 - x + 2 x 2 + 4 x + 4 ⇒

f ' x = 4 x 2 + 4 x + 4

Agora vamos verificar para quais valores de x , f ' ( x ) existe, já sabendo que x = - 2 não pertence ao domínio da função. Para isso devemos encontrar as raízes da função x 2 + 4 x + 4 . Assim:

x 2 + 4 x + 4 = 0 ⇒

x = - ( 4 ) ± 4 2 - 4 . 1 . 4 2 . ( 1 ) ⇒

x = - 4 ± 16 - 16 2 ⇒

x = - 4 ± 0 2 ⇒

x = - 4 2 ⇒

x = - 2

Logo, somente para x = - 2 , f ' ( x ) não existe, para sabermos se possui pontos críticos devemos fazer o teste para f ' x = 0 . Assim:

f ' x = 0 ⇒

4 x 2 + 4 x + 4 = 0 ⇒

4 = 0

Como obtivemos um resultado inconclusivo, não existem pontos críticos de f . Estudando mais a fundo é possível encontrar o comportamento assintótico de f para o ponto de descontinuidade da função x = 2 .

Passo 2

Para determinar se f é crescente ou decrescente podemos testar o ponto de descontinuidade em x = - 2 devemos aplicar o teste da primeira derivada. Assim:

→ x < - 2 :

f ' x > 0 e f é crescente.

→ x > - 2 :

f ' x > 0 e f é crescente.

Como f não possui extremos relativos ficaremos somente com este estudo de crescimento e decrescimento.

Passo 3

Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de f x = x - 2 x + 2 . O gráfico é dado por:

Resposta

Portanto, f x = x - 2 x + 2 é crescente nos intervalos ( - ∞ ,   - 2 ) e ( - 2 , + ∞ ) , não admite extremos relativos e possui comportamento assintótico em x = - 2 .

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