Enunciado

Demonstre que a função ln ⁡ x cresce mais lentamente que qualquer polinômio quando x → ∞

Passo 1

Galera, queremos demonstrar que a função ln ⁡ x cresce mais lentamente que qualquer polinômio quando x → ∞ . Para isso, considere o polinômio geral a seguir:

a n x n + a n - 1 x n - 1 + … . + a 1 x + a 0

Para verificar a taxa de crescimento, calculamos o limite:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x a n x n + a n - 1 x n - 1 + … + a 1 x + a 0

= l i m x → ∞ ln ⁡ x x n l i m x → ∞ a n + a n - 1 x + … + a 1 x n - 1 +   a 0 x n

=   l i m x → ∞ 1 x n x n - 1 a n =   l i m x → ∞ 1 a n ( n x n ) = 0

Portanto, ln ⁡ x cresce mais lentamente que qualquer polinômio quando x → ∞

Resposta

Questão de demonstração

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