Enunciado

Seja f x = 1 - x 2 1 + x 3 . Faça o seguinte:

  1. Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
  2. Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
  3. Determine os intervalos nos quais f é crescente;
  4. Determine os intervalos nos quais f é decrescente;
  5. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Observe que f é uma função de polinomial, logo é contínua e derivável para todo x real. Assim, pelas regras de derivação:

f ' x = - 2 ( 1 - x ) 1 + x 3 + 3 1 - x 2 1 + x 2 ⇒

f ' x = 1 - x 1 + x 2 [ - 2 1 + x + 3 1 - x ] ⇒

f ' x = 1 - x 1 + x 2 - 2 - 2 x + 3 - 3 x ⇒

f ' x = 1 - x 1 + x 2 1 - 5 x ⇒

f ' x = ( 1 - x ) 1 + x 2 ( 1 - 5 x )

Como f ' ( x ) existe para todos valores de x , os pontos críticos de f ocorrem quando f ' x = 0 . Assim:

f ' x = 0 ⇒

( 1 - x ) 1 + x 2 ( 1 - 5 x ) = 0

Logo:

1 - x = 0 ⇒

x = 1  

Ou:

1 + x 2 = 0 ⇒

1 + x = 0 ⇒

x = - 1

Ou:

1 - 5 x = 0 ⇒

5 x = 1 ⇒

x = 1 5

Portanto os pontos críticos existentes em f ocorrem quando x = - 1 , x = 1 5 e x = 1 .

Passo 2

Para determinar se f tem um extremo relativo em x = - 1 , em x = 1 5 e em x = 1   devemos aplicar o teste da primeira derivada. Assim:

→ x < - 1 :

f ' x > 0 e f é crescente.

→ - 1 < x < 1 5

f ' x > 0 e f é crescente.

→ 1 5 < x < 1

f ' x < 0 e f é decrescente.

→ x > 1 :

f ' x > 0 e f é crescente.

Logo, pelo teste da primeira derivada, em x = 1 temos um ponto de mínimo relativo e em x = 1 5 temos um ponto de máximo relativo de f .

Passo 3

Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de f x = 1 - x 2 1 + x 3 . O gráfico é dado por:

Resposta

Portanto, f x = 1 - x 2 1 + x 3 é crescente nos intervalos - ∞ , 1 5 e ( 1 , + ∞ ) , decrescente no intervalo ( 1 5 , 1 ) , admite máximo relativo em x = 1 5 e admite mínimo relativo em x = 1 .

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Suponha que você tenha três algoritmos diferentes para resolver o mesmo problema e que cada um deles dependa de uma série de passos que é da ordem de uma das funções listadas aqui: n log 2 ⁡ n ; n 3 2
Verdadeiro ou falso? 1 x 2 + 1 x 4 = O 1 x 2 1 x 2 + 1 x 4 = O 1 x 4 ⁡ x = o ( x + ln ⁡ x ) ln ⁡ ( ln ⁡ x ) = o( ln ⁡ x ) tan - 1 ⁡ x = O 1 cosh ⁡ x = O( e x )
f cresce mais rapidamente, mais lentamente ou à mesma taxa que g quando x → ∞ ? f x =log 2 ⁡ x ; g x =log 3 ⁡ x f x = x ; g x = x + 1 x f x = x 100 ; g x = x e - x f x = x ; g x = tan - 1 ⁡ x f x = cs
f cresce mais rapidamente, mais lentamente ou à mesma taxa que g quando x → ∞ ? f x =3 - x ; g x =2 - x f x = ln ⁡ 2 x ; g x = ln ⁡ x 2 f x = 10 x 3 + 2 x 2 ; g x = e x f x = tan - 1 ⁡ 1 x ; g x = 1 x
Verdadeiro ou falso? 1 x 4 = O 1 x 2 + 1 x 4 1 x 4 = o1 x 2 + 1 x 4 ⁡ ln ⁡ x= o ( x + 1 ) ln ⁡ 2 x = o ( ln ⁡ x ) sec - 1 ⁡ x = O 1 sinh ⁡ x = O ( e x )