Verdadeiro ou falso?

  1. 1/x^2 + 1/x^4 = O(1/x^2)
  2. 1/x^2 + 1/x^4 = O(1/x^4)
  3. x = o(x + ln(x))
  4. ln(ln(x)) = o(ln(x))
  5. tan^(-1) x = O(1)
  6. cosh x = O(e^x)

Passo 1

Bom, o enunciado pede para verificar se é verdadeiro ou falso quanto a ordem de crescimento das funções quando x → ∞ ?

Mas o que seria esses “o” e “O”? Para isso, vamos relembrar as definições:

Temos uma função f de ordem menor que g quando x → ∞ :

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) = 0

Quando isso ocorre dizemos que f é “ozinho” de g ou f = o ( g )

Show! E como verificamos se f é ozão de g . Bom, para isso, temos que fazer o seguinte:

f ( x ) g ( x ) ≤ M

Onde M é um inteiro positivo.

E representamos f = O g .

Agora vamos verificar item por item. Beleza?

  1. 1 x 2 + 1 x 4 = O 1 x 2

1 x 2 + 1 x 4 1 x 2 = 1 + 1 x 2 ≤ 2

Quando x for suficientemente grande, portanto, o item é verdadeiro

Passo 2

b )   1 x 2 + 1 x 4 = O  1 x 4 ⁡

1 x 2 + 1 x 4 1 x 4 =   x 2 + 1 > M

Para qualquer inteiro M sempre que x > M

Portanto, item Falso

Passo 3

c )   x = o ( x + ln ⁡ x )

l i m x → ∞ x x + ln ⁡ x =   l i m x → ∞ 1 1 + 1 x = 1  

Portanto, f ( x ) cresce à mesma taxa que g ( x ) . Item falso

Passo 4

d )   ln ⁡ ( ln ⁡ x ) = o   ( ln ⁡ x )  

l i m x → ∞ ln ⁡ ( ln ⁡ x ) ln ⁡ x = l i m x → ∞ 1 x ln ⁡ x   1 x =   l i m x → ∞   1 ln ⁡ x   = 0

l i m x → ∞   1 1 + 1 x 2 = 1  

Portanto, f ( x ) cresce mais lentamente que g x .   Item verdadeiro

Passo 5

e )   tan - 1 ⁡ x = O 1

tan - 1 ⁡ x 1 ≤ π 2   Para todo x

Portanto, item verdadeiro

Passo 6

f )   cosh ⁡ x = O   ( e x )

cosh ⁡ x e x =   1 2   1 + e - 2 x ≤   1 2   1 + 1 = 1

Para todo x > 0

Portanto, item verdadeiro

Resposta

  1. Verdadeiro
  2. Falso
  3. Falso
  4. Verdadeiro
  5. Verdadeiro
  6. Verdadeiro
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