Enunciado

Seja f x = 4 x - 6 x 2 3 . Faça o seguinte:

  1. Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
  2. Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
  3. Determine os intervalos nos quais f é crescente;
  4. Determine os intervalos nos quais f é decrescente;
  5. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Observe que f é contínua e derivável para todo x real. Assim, pelas regras de derivação:

f ' x = 4 - 6 . 2 3 x - 1 3 ⇒

f ' x = 4 - 4 x - 1 3 ⇒

f ' x = 4 - 4 x 1 3 ⇒

f ' x = 4 - 4 x 3

Como f ' ( x ) não existe para x = 0 , assim temos um ponto crítico neste valor. Os demais pontos críticos de f ocorrem quando f ' x = 0 . Assim:

f ' x = 0 ⇒

4 - 4 x 3 = 0 ⇒

4 = 4 x 3 ⇒

x 3 = 1 ⇒

x = 1

Assim o ponto crítico de f ocorrem quando x = 1 .

Passo 2

Para determinar se f tem um extremo relativo em x = 0 e x = 1 devemos aplicar o teste da primeira derivada. Assim:

→ x < 0 :

f ' x > 0 e f é crescente.

→ 0 < x < 1 :

f ' x < 0 e f é decrescente.

→ x > 1 :

f ' x < 0 e f é decrescente.

Logo, pelo teste da primeira derivada, em x = 0 temos um ponto de máximo relativo de f .

Passo 3

Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de f x = 4 x - 6 x 2 3 . O gráfico é dado por:

Resposta

Portanto, f x = 4 x - 6 x 2 3 é crescente em - ∞ ,   0 , é decrescente em ( 0 ,   + ∞ ) , admite máximo relativo em x = 0 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule. lim x → 0 ⁻ ⁡ x e 1 x ⁻
Seja f x = e - 1 x 2 s e x ≠ 0 0 s e x = 0 Calcule f ' 0 , pela definiçãoDetermine f ' Esboce o gráfico, calculando, para isto, todos os limites necessários
Calcule. lim x → + ∞ ⁡ e x x 3
Seja n ≥ 2 um natural dado. Prove que x n - 1 ≥ n x - 1 para todo x ≥ 1 .(Sugestão: Verifique que f x = x n - 1 - n x - 1 é estritamente crescente em 1 , + ∞ .)
Mostre que, para todo x0 , tem-se cos ⁡ x1 - x 2 2 sen ⁡ xx - x 3 3 !