Enunciado

3) Calcule a área da região limitada pela elipse x = a cos t, y = b sen t, 0 ≤ t ≤2π, onde a > 0 e b > 0.

Passo 1

Bem, essa integração pode ser feita por realmente muitas maneiras. Sabemos Que a área de uma elipse é

A = a b π

Mas o exercício pede para que testemos o método de calcular áreas pelo teorema de green, então valos lá. A fórmula é

k =   ∮ γ x   d y  

Onde nosso γ   é descrito no enunciado como

x   =   a   c o s   t

  y   =   b   s e n   t

  0   ≤   t   ≤   2 π

Podemos então dizer que

d y = b cos ⁡ t d t

Passo 2

Vamos unir os dados na nossa integração

k =   ∮ γ x   d y  

k =   ∮ 0 2 π a cos ⁡ t b cos ⁡ t   d t

k =   a b ∮ 0 2 π cos 2 ⁡ t   d t

k = a b     .     1 2 t + s e n 2 t 2   0 2 π

k = a b   2 π + 0 2

k = a b π

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∮ γ x   d y   = a b π

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Seja y = f ( x ) de classe C 1 em a , b e tal que f ' x0 em ] a , b [ . Seja K o conjunto a ≤ x ≤ b e f x ≤ y ≤ f a . Sejam P e Q de classe C 1 em um aberto contendo K . Prove que ∮ γ P d x + Q d y =
Seja y = f x de classe C 1 em [ a , b ] e tal que f ' x0 em ] a , b [ . Seja K o conjunto a ≤ x ≤ b e f a ≤ y ≤ f x . Sejam P e Q de classe C 1 num aberto contendo K . Prove que ∮ γ P d x + Q d y = ∬
Seja C uma curva fechada, orientada positivamente, limitando uma região do plano x y , de área A . Verifique que se a 1 ,a 2 ,a 3 , b 1 , b 2 ,b 3 são constantes reais, então ∮ a 1 x + a 2 y + a 3 d x
Determine ∮ C x 2 + y + 2 x y 3 d x + 5 x + 3 x 2 y 2 + yd y onde C é a reunião das curvas C 1 ,C 2 e C 3 dadas por C 1 : x 2 + y 2 = 1 ,y ≥ 0 ; C 2 : x + y + 1 = 0 , - 1 ≤ x ≤ 0 ; C 3 : x - y - 1 = 0
Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.a. ∮ C y 2 d x + x 2 d y C é a fronteira do quadrado D = - 1,1 × - 1,1