Enunciado

Seja f ( x , y ) uma função que admita derivadas parciais em todo o R 2 . Suponha que f admita um único ponto crítico ( x 0 , y 0 ) e que este ponto crítico seja ponto de máximo local. Pode-se concluir que ( x 0 , y 0 ) é ponto de máximo global?

Passo 1

A questão faz uma pergunta: se uma função admitir derivadas parciais em todos os pontos e se tiver apenas um ponto crítico e ele for um máximo local, ele será necessariamente um máximo global?

A resposta para esse problema é não! Em matemática, provar que uma coisa é verdade é trabalhoso, mas provar que é falso é muito fácil, basta achar um contraexemplo. Consideremos a função

f x , y = x 2 y - 1 3 - y 2

Tomando as primeiras derivadas:

∂ f ∂ x = 2 x   y - 1 3

∂ f ∂ y = 3 x 2 y - 1 2 - 2 y

Igualando essas derivadas a zero, da primeira equação tiramos x = 0 ou y = 1 . Se x = 0 , na segunda equação obtemos y = 0 . Por outro lado, se y = 1 , na segunda equação obtemos - 2 y = 0 , o que é uma contradição.

Assim, o único ponto crítico de f é ( 0,0 ) .

Passo 2

Tomando as segundas derivadas no ponto 0,0 :

∂ 2 f ∂ x 2 = 2 y - 1 3 = - 2

∂ 2 f ∂ y 2 = 6 x 2 y - 1 - 2 = - 2

∂ 2 f ∂ x   ∂ y = ∂ 2 f ∂ y   ∂ x = 6 x y - 1 2 = 0

Assim, o hessiano será

H = - 2 0 0 - 2 = 4 > 0

Como o hessiano é positivo e ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 , ( 0,0 ) é ponto de máximo local. Note que f 0,0 = 0 . Por outro lado, note que

f 5,2 = 25 - 8 = 17 > 0 = f ( 0,0 )

Logo, ( 0,0 ) não é máximo global, mesmo sendo o único ponto crítico e máximo local de f .

Com esse contraexemplo nós respondemos a pergunta da questão!

Resposta

Não.

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6. Selecione os candidatos a extremantes locais, sendo f x , y = x 5 + y 5 - 5 x - 5 y .
1. Estude com relação a extremantes globais a função f x , y = x 2 - y 2 - 3 x y + x + 4 y
1. Estude com relação a extremantes globais a função f x , y = x 2 + 2 x y + 2 y 2 - x + 2 y
1. Estude com relação a extremantes globais a função f x , y = x 2 + y 2 - 2 x - 4 y
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