Enunciado

Seja f(x,y) de classe C³ no aberto A   ⊂ R ² e seja (x0, y0) um ponto de A. Seja P2 (x,y) um polinômio de grau 2. Prove que

lim ⁡ f x , y - P 2 x , y x , y - x 0 , y 0 2 = 0

Onde

P 2 x , y → ( x 0 , y 0 )

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos essa equaçãozinha aii e depois dar o resultado. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar o valor da nosssa função a partir do ponto inicial.

Precisamos lembrar que f de classe C² em A significa que todas as derivadas parciais de ordem 3 são contínuas em A.

f x , y =   ∂ 3 f ∂ x 3 = M ∂ 3 f ∂ x 2 ∂ y = M ∂ 3 f ∂ y 2 ∂ x = M ∂ 3 f ∂ y 3 = M

Achado isso, vamos encontrar a nossa relação.

f x , y - P 2 x , y = E x , y

Δ x ,   Δ y = 0,0

lim ⁡ E x , y x , y - x 0 , y 0 2 = 0

lim ⁡ E x , y Δ x ² + Δ y ² = 0

E = o Δ x 2 + Δ y 2

E x , y ≤ o Δ x 2 + Δ y 2

Com nossos valores principais já calculados, precisamos jogar todo mundo na equação de Taylor de segunda ordem. Lembra dela?? Vou te dar um tempo para ir lá na teoria procurar...

lim ⁡ Δ x 2 + Δ y 2 Δ x 2 + Δ y 2 = lim ⁡ Δ x 2 + Δ y 2 = 0

Δ x 2 + Δ y 2 = 0 Δ x 2 + Δ y 2  

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

E x , y ≤ o Δ x 2 + Δ y 2  

Como temos que

E x , y Δ x 2 + Δ y 2 ≤ o Δ x 2 + Δ y 2   Δ x 2 + Δ y 2

Portanto:

E x , y Δ x 2 + Δ y 2 ≤ o Δ x 2 + Δ y 2   x + y Δ x 2 + Δ y 2

Resposta

E x , y Δ x 2 + Δ y 2 ≤ o Δ x 2 + Δ y 2   x + y Δ x 2 + Δ y 2

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