Enunciado

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Seja n > 0 um natural. Prove que f x = x n é contínua.

Passo 1

Belejóia galerinha, quando queremos provar a continuidade de uma função, temos algumas alternativas, e dentre elas a mais bandida de todas é pela definição. E como a gente é mau também, vamos provar por ela mesmo.

Nesse caso pela definição, dado um p real. Precisamos provar que dado um ϵ > 0 , existe um intervalo I que contém p , p ∈ I , tal que para todo x , x ∈ I ⇒ p n - ϵ < x n < p n + ϵ .

Calma lá meu aprovado, cola aqui comigo que eu vou te explicar certinho. Precisamos então resolver essa inequação marivilinda ai, MAASSSS com toda sagacidade do mundo, vamos dividir em dois casos, pois podemos ter um expoente ímpar ou um expoente par, e isso pode interferir na nossa análise.

Passo 2

1º CASO: Se n é ímpar

Sendo n ímpar podemos explicitar nossa inequação como

p n - ϵ < x n < p n + ϵ

p n - ϵ n < x < p n + ϵ n

E o legal que a gente dividiu o caso ímpar PORQUE repara ali no primeiro termo da inequação, p n - ϵ n , se tivéssemos p = 0 , teríamos um número negativo dentro da raiz, e se caso essa raiz fosse de um número n par, isso seria impossível, dado que não existe raiz par de número negativo. Mas a condição de n ser ímpar, garante a existência de raízes de números negativos e podemos tomar nosso conjunto aberto I como

I = p n - ϵ n , p n + ϵ n

Então dado que n é ímpar, para todo x temos que

x ∈ I ⟹ p n - ϵ < x n < p n + ϵ

Logo, f é contínua em todo p real quando n é ímpar.

Passo 3

2º CASO: Se n é par

Agora no segundo caso, temos que levar em conta a limitação de raízes pares com número negativos. Inicialmente vamos analisar para p = 0 . Para todo ϵ > 0 dado, temos

0 n - ϵ < x n < 0 n + ϵ

x = ϵ n

- ϵ n < x < ϵ n

Isso quer dizer que podemos definir o intervalo, I = - ϵ n ,   ϵ n , onde x ∈ I . Logo f x = x n é contínua em p = 0 .

Suponhamos agora, p ≠ 0 . Para todo ϵ > 0 , com ϵ < p n , temos então

p n - ϵ < x < p n + ϵ

p n - ϵ n < x < p n + ϵ n

Logo, se p > 0 o intervalo aberto I é dado por

I = p n - ϵ n ,   p n + ϵ n

E se p < 0 , o intervalo se torna

I = - p n + ϵ n ,   - p n - ϵ n

Dessa forma f x = x n é contínua em todo p ≠ 0 .

Assim, f é contínua em todo p real, para qualquer n natural positivo, seja ele par ou ímpar.

Resposta

Demonstração.

Exercícios de Livros Relacionados

Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,           a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 ,     x ≠ 1 1 ,     x = 1 ,               a = 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles? Esboce o gráfico de f . f x = 1 + x 2 ,                    ...
Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles? Esboce o gráfico de f . f x = x + 1 ,                      ...
Para que valores de x a função f é contínua? f x = 0                     s e   x   é   r a c i o n a l 1             s e   x   é   i r r a c i o n a l é é
Diga se a função representada graficamente é contínua em [1,3]. Em caso negativo, onde ela deixa de ser contínua e por quê?
Diga se a função representada graficamente é contínua em [1,3]. Em caso negativo, onde ela deixa de ser contínua e por quê?
Dado o gráfico a seguir, responda as perguntas abaixoQue valor deve ser atribuído a f ( 2 ) para tornar a função estendida contínua em x = 2 ?