Enunciado

Seja n > 0 um natural. Prove que f (x) = x^n é contínua.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente provar que a função f (x) = x^n é contínua, tendo n positivo.

Beleza galerinha, quando queremos provar a continuidade de uma função, temos algumas alternativas, e dentre elas a mais bandida de todas é pela definição. E como a gente é mau também, vamos provar por ela mesmo.

Nesse caso pela definição, dado um p real. Precisamos provar que dado um ϵ > 0 , existe um intervalo I que contém p , p in I , tal que para todo x , x in I => p^n - ϵ < x^n < p^n + ϵ .

Calma lá meu aprovado, cola aqui comigo que eu vou te explicar certinho. Precisamos então resolver essa inequação marivilinda aí, MAASSSS com toda sagacidade do mundo, vamos dividir em dois casos, pois podemos ter um expoente ímpar ou um expoente par, e isso pode interferir na nossa análise.

Vamos lá!

Passo 2

1º CASO: Se n é ímpar

Sendo n ímpar podemos explicitar nossa inequação como

p^n - ϵ < x^n < p^n + ϵ

root(n)(p^n - ϵ) < x < root(n)(p^n + ϵ)

E o legal que a gente dividiu o caso ímpar PORQUE repara ali no primeiro termo da inequação, root(n)(p^n - ϵ) , se tivéssemos p = 0 , teríamos um número negativo dentro da raiz, e se caso essa raiz fosse de um número n par, isso seria impossível, dado que não existe raiz par de número negativo. Mas a condição de n ser ímpar, garante a existência de raízes de números negativos e podemos tomar nosso conjunto aberto I como:

I = (root(n)(p^n - ϵ) , root(n)(p^n + ϵ))

Então dado que n é ímpar, para todo x temos que:

x in I ⟹ p^n - ϵ < x^n < p^n + ϵ

Logo, f é contínua em todo p real quando n é ímpar.

Passo 3

2º CASO: Se n é par

Agora no segundo caso, temos que levar em conta a limitação de raízes pares com número negativos. Inicialmente vamos analisar para p = 0 . Para todo ϵ > 0 dado, temos

0^n - ϵ < x^n < 0^n + ϵ

|x| = root(n)(ϵ)

- root(n)(ϵ) < x < root(n)(ϵ)

Isso quer dizer que podemos definir o intervalo, I = (- root(n)(ϵ) , root(n)(ϵ)) , onde x in I . Logo f (x) = x^n é contínua em p = 0 .

Suponhamos agora, p != 0 . Para todo ϵ > 0 , com ϵ < p^n , temos então:

p^n - ϵ < x < p^n + ϵ

root(n)(p^n - ϵ) < |x| < root(n)(p^n + ϵ)

Logo, se p > 0 o intervalo aberto I é dado por

I = (root(n)(p^n - ϵ) , root(n)(p^n + ϵ))

E se p < 0 , o intervalo se torna

I = (- root(n)(p^n + ϵ) , - root(n)(p^n - ϵ))

Dessa forma f (x) = x^n é contínua em todo p != 0 .

Assim, f é contínua em todo p real, para qualquer n natural positivo, seja ele par ou ímpar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o n o s p a s s o s

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23-28 Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.27- Se f ( x ) for contínua em x = c , então f ( x ) também é.
23-28 Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.25- Se f e g forem descontínuas em x = c , então f + g também é.
11-22 Encontre os pontos x, se houver, nos quais f não é contínua.22- f ( x )2 x + 3 , x ≤ 4 7 + 16 x , x4
29-30 Encontre um valor para a constante k , se possível, que faça a função ficar contínua em toda parte.29. (a) f x =7 x - 2 , x ≤ 1 k x 2 , x1 (b) f x = k x 2 , x ≤ 2 2 x + k , x2
23-28 Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.23-Se f ( x ) for contínua em x = c , então f ( x ) também.