Enunciado

Seja f x = e x - e - x 2

a) Mostre que f é inversível e determine sua inversa g

b) Esboce os gráficos de f e de g

Passo 1

a) Para saber se a função é invertível precisamos saber se ela é bijetora.

E ela ser bijetora é cada elemento do domínio se relacionar com somente um elemento da imagem e vice versa.

Repara que o domínio é o conjunto dos números reais (porque podemos jogar qualquer número no x).

E a imagem também vai ser o conjunto do reais (substitui ali “infinito” que a gente acha infinito e “-intinto” que a gente acha menos infinito).

E a função é bijetora porque todos os x que a gente colocar vai dar um y diferente. Repara que se a gente substituir, intuitivamente o x por -x (pra ver se vai dar valor de y diferente mesmo), ficamos com:

f x = e - x - e - - x 2 = e - x - e x 2

E realmente é diferente.

Então a gente escreve assim:

“Como a função é bijetora e essa é uma condição necessária e suficiente para ser inversível, então f é inversível.”

Escrevemos x = e y - e - y 2 para obter a inversa y = g x :

x = e y - e - y 2

e y - e - y = 2 x

Multiplicamos toda a equação por e y :

e y 2 - 1 = 2 x e y

e y 2 - 2 x e y - 1 = 0

Passo 2

Veja que chegamos a uma equação do segundo grau na variável e y . Resolvendo, obtemos:

e y = - - 2 x ± - 2 x 2 - 4 1 - 1 2 ( 1 ) = x ± x 2 + 1

Como e y é sempre positivo, desprezamos a solução negativa, restando apenas:

e y = x + x 2 + 1

E assim,

y = ln ⁡ x + x 2 + 1

g x = ln ⁡ x + x 2 + 1

Passo 3

b) Agora vamos esboçar os gráficos, com f x = e x - e - x 2 em vermelho e g x = ln ⁡ x + x 2 + 1 em azul:

Repare que os gráficos são simétricos em relação à reta y = x , pois uma função é inversa da outra!

Resposta

a) g x = ln ⁡ x + x 2 + 1

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