Enunciado

Seja f x = t a n ⁡ ( x ) .

(a) Mostre que não há num intervalo ( 0 , π ) um ponto c tal que f ' c = 0 , embora f 0 = f π = 0 .

(b) Explique por que o resultado de (a) não viola o Teorema de Rolle.

Passo 1

(a) Primeiro, vamos olhar para o gráfico de f x = t a n ⁡ ( x ) para termos uma ideia melhor do que está acontecendo nesse intervalo ( 0 , π ) :

Repare que quando x = π 2 , a tangente não existe, pois ela explode para o infinito. Isso é muito bem apresentado pelo gráfico acima. Então, por mais que f 0 = f π = 0 , conseguimos ver no gráfico que não tem um ponto sequer em que a derivada seja zero!

Passo 2

(b) Para que satisfaça o Teorema de Rolle, a função precisa ser contínua no intervalo fechado e derivável no intervalo aberto. Mas, como vimos no passo anterior, a função não é nem contínua nem derivável no intervalo, por conta desse salto em x = π 2 . Por isso, o resultado na letra anterior não viola o Teorema de Rolle.

Resposta

Explicações e demonstrações no passo a passo.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

17.a. Demonstre que a equação x 4 + 2 x 2 - 2 = 0 tem exatamente uma solução em [ 0,1 ] .
18.b. Demonstre que f ( x ) = x 3 + 2 x não possui valores máximo ou mínimo locais.
22. Calcule a primeira derivada de f ( x ) = x 2 / ( x 2 + 1 ) e g ( x ) = - 1 / ( x 2 + 1 ) . O que pode ser concluído sobre os gráficos dessas funções?
21. Demostre que d d x x x + 1 = d d x - 1 x + 1 mesmo que x x + 1 ≠ - 1 x + 1 Isso não contradiz o corolário do valor médio? Justifique sua resposta.
20. A fórmula F ( x ) = 3 x + C fornece uma função diferente para cada valor de C. Entretanto, todas essas funções têm a mesma derivada em relação a x , ou seja, F ' ( x ) = 3 . Essas são as únicas fu