Enunciado

Seja em que J = λ 1 0 λ um número real arbitrário.

(a) Encontre J 2 , J 3 e J 4 .

(b) Use um argumento indutivo para mostrar que J n = λ n n λ n - 1 0 λ n

(c) Determine e x p ( J t ) .

(d) Use e x p ⁡ ( J t ) para resolver o problema de valor inicial x ' = J x , x 0 = x 0 .

Passo 1

a) Efetuando a multiplicação direta da matriz J :

J 2 = λ 1 0 λ ∙ λ 1 0 λ

J 2 = λ 2 2 λ 0 λ 2

Para J 3 :

J 3 = λ 1 0 λ ∙ λ 1 0 λ ∙ λ 1 0 λ

J 3 = λ 3 3 λ 2 0 λ 3

Para J 4 :

J 4 = λ 1 0 λ ∙ λ 1 0 λ ∙ λ 1 0 λ ∙ λ 1 0 λ

J 4 = λ 4 4 λ 3 0 λ 4

b)Utilizando o argumento J n :

J n = λ n n λ n - 1 0 λ n

Vamos utilizar o argumento e somarmos + 1 em n e vamo ver o resultado, caso seguir a lógica do argumento estará provado que é verdadeiro:

Passo 2

Apliciando oque esclarecido no passo 1, temos:

J n + 1 = λ n n λ n - 1 0 λ n λ 1 0 λ

J n + 1 = λ n ∙ λ n λ n + n λ n ∙ λ n - 1 0 λ n ∙ λ n

O argumento segue a lógica intuitiva, logo ele é verdadeiro.

Passo 3

c)Para determinando e x p ⁡ ( J t ) :

Temos que uma exponencial de uma matriz quadrada ( n × n ) é definida por:

exp ⁡ A = e A = I + A + A 2 2 ! + A 3 3 ! … …

Em que I é a matriz identidade.

E executar este tipo de formula para uma matriz diagonal 2 × 2 é dado por:

exp ⁡ x 1 0 0 x 2 = e x 1 0 0 e x 2

Com base nisso, vamos aplicar a nossa matriz J , e teremos:

exp ⁡ J t = e j t

e j t = e λ t t e λ t 0 e λ t

Passo 4

d)Temos:

x ' = J x

x ' = λ 1 0 λ x

Para determinarmos a solução específica do sistema temos que encontrar os autovalores e autovetores associados.

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) .

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = λ 1 0 λ - r 0 0 r

det ⁡ A - r I = λ - r 1 0 λ - r

det ⁡ A - r I = r 2 + λ 2 - 2 r λ

Tendo as raízes:

r 1,2 = λ

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = λ , temos:

A - r I ξ = 0

0 1 0 0 ∙ ξ 1 ξ 2 = 0

Reduzindo o sistema para:

ξ 2 = 0

Para r = λ :

ξ 1 = 1 0

x ( 1 ) t = 1 0 ∙ e λ t

Para podermos calcular a segunda solução linear, teremos que generalizar um verto próprio:

0 1 0 0 ∙ η 1 η 2 = 1 0

Temos que:

η 2 = 2

Assumindo η 1 = k , teremos:

η 2 = 2

Aplicando a segunda solução para autovalores repetidos:

x 2 = 1 0 t e λ t + k 2 e λ t = 1 0 t e λ t + 0 2   e λ t + k 1 0 e λ t

Aplicando a formula da solução geral temos:

x = c 1 x 1 t + c 2 x ( 2 ) t

Logo a solução geral fica:

x = c 1 1 0 e λ t + c 2 1 0 t e λ t + 0 2   e λ t

Aplicando as condições iniciais temos:

x 0 = x 0

x 0 = c 1 1 0 + c 2 0 2  

Ficamos com o seguinte sistema:

0 c 2 2   + c 1 0 = x 0

0 c 2 2   + c 1 0 = 1

Tendo resultado como:

c 1 = 1

c 2 = 1 2

Portanto a solução específica é:

x = 1 0 e λ t + 1 2 0 2   e λ t

Resposta

a)

J 2 = λ 2 2 λ 0 λ 2

J 3 = λ 3 3 λ 2 0 λ 3

J 4 = λ 4 4 λ 3 0 λ 4

b)

J n + 1 = λ n ∙ λ n λ n + n λ n ∙ λ n - 1 0 λ n ∙ λ n

c)

e j t = e λ n t e λ n 0 e λ n

d) x = 1 0 e λ t + 1 2 0 2   e λ t

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