Enunciado

Considere o sistema com duas massas e três molas cujas equações de movimento são as Eq.

(22) no texto. Suponha que m 1   =   1 ,   m 2   =   4 / 3 ,   k 1   =   1 ,   k 2   =   3   e   k 3   =   4 / 3 .

(a) Como no texto, transforme o sistema em quatro equações de primeira ordem da forma y ’ = A y . Determine a matriz de coeficientes A .

(b) Encontre os autovalores e autovetores de A .

(c) Escreva a solução geral do sistema.

(d) Descreva os modos fundamentais de vibração. Para cada modo fundamental, desenhe gráficos de y1 e de y2 em função de t. Desenhe, também, as trajetórias correspondentes nos planos y1y3 e y2y4.

(e) Considere as condições iniciais y ( 0 )   =   2 ,   1 ,   0 ,   0 T . Calcule as constantes arbitrárias na

solução geral do item (c). Qual é o período do movimento nesse caso? Desenhe gráficos de y1 e de y2 em função de t. Desenhe, também, as trajetórias correspondentes nos planos y1y3 e y2y4. Certifique-se de que você compreende como as trajetórias são percorridas durante um período completo.

(f) Considere outras condições iniciais de sua escolha e desenhe gráficos semelhantes aos

pedidos no item (e).

Passo 1

e) temos que este exercício aqui é exatamente igual ao item (e), mas com valores iniciais diferentes a nossa escolha. Eu estarei escolhendo estes aqui:

y 0 = 0 0 35 70

Trazendo da solução do item (c):

y = c 1 cos ⁡ t cos ⁡ t - s e n   t - s e n   t + c 2 s e n   t s e n   t cos ⁡ t cos ⁡ t + c 3 4 cos ⁡ 5 2 t - 3 cos ⁡ 5 2 t - 10 s e n 5 2 t 15 2 s e n 5 2 t + c 4 4 s e n 5 2 t - 3 s e n 5 2 t 10 cos ⁡ 5 2 t - 15 2 cos ⁡ 5 2 t

Aplicando y 0 , temos:

y 0 = c 1 1 1 0 0 + c 2 0 0 1 1 + c 3 4 - 3 0 0 + c 4 0 0 10 - 15 2 = 0 0 35 70

E teremos o seguinte sistema:

c 1 + 4 c 3 = 0

c 1 - 3 c 3 = 0

c 2 + 10 c 4 = 35

c 2 - 15 2 c 4 = 70

Resolvendo este sistema, por meio de substituição, temos as seguintes soluções:

c 1 = 0 ; c 2 = 55 ; c 3 = 0 ; c 4 = - 2

E quesito o período será de 4 π , pois cos ⁡ t e s e n   t possuem períodos de 2 π e cos ⁡ 5 2 t e s e n 5 2 t possuem um período de 4 5 π e dois períodos se encontram em 4 π .

Passo 2

Após o calculo do problema de valor inicial, temos que desenhar os gráficos das soluções, vamos lá.

Gráfico de y 1 × t :

Gráfico de y 2 × t :

Passo 3

Desenhando os gráficos das trajetórias, no plano y 1 y 3 :

Temos também a trajetória no plano y 2 y 4 :

Resposta

c 1 = 0 ; c 2 = 55 ; c 3 = 0 ; c 4 = - 2

E um período de 4 π

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Em cada um dos problemas de 13 a 20, a matriz de coeficientes contém um parâmetro α. Em cada um desses problemas: (a) Determine os autovalores em função de α. (b) Encontre o valor ou valores críticos
Resolva o problema de valor inicial x ' = - 1 - 4 1 - 1 x , x 0 = 3 1 usando a matriz fundamental Φ ( t ) encontrada no Problema 6.
Resolva o problema de valor inicial x ' = 2 - 1 3 - 2 x , x 0 = 2 - 1 usando a matriz fundamental Φ ( t ) encontrada no Problema 3.
Mostre que Φ t =Ψ t Ψ - 1 ( t 0 ) , em que Φ ( t ) e Ψ ( t ) são como definidas nesta seção.
Em cada um dos problemas de 1 a 10 :(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )=I . x ' = 1 - 1 5 - 3 x