Enunciado

Considere o sistema com duas massas e três molas cujas equações de movimento são as Eq.

(22) no texto. Suponha que m 1   =   1 ,   m 2   =   4 / 3 ,   k 1   =   1 ,   k 2   =   3   e   k 3   =   4 / 3 .

(a) Como no texto, transforme o sistema em quatro equações de primeira ordem da forma y ’ = A y . Determine a matriz de coeficientes A .

(b) Encontre os autovalores e autovetores de A .

(c) Escreva a solução geral do sistema.

(d) Descreva os modos fundamentais de vibração. Para cada modo fundamental, desenhe gráficos de y1 e de y2 em função de t. Desenhe, também, as trajetórias correspondentes nos planos y1y3 e y2y4.

(e) Considere as condições iniciais y ( 0 )   =   2 ,   1 ,   0 ,   0 T . Calcule as constantes arbitrárias na

solução geral do item (c). Qual é o período do movimento nesse caso? Desenhe gráficos de y1 e de y2 em função de t. Desenhe, também, as trajetórias correspondentes nos planos y1y3 e y2y4. Certifique-se de que você compreende como as trajetórias são percorridas durante um período completo.

(f) Considere outras condições iniciais de sua escolha e desenhe gráficos semelhantes aos

pedidos no item (e).

Passo 1

d)

Recomendo fortemente que você abra o item (c) desta questão para acompanha visualmente todas a citações que estamos fazendo durante está questão.

Todas as fases do nosso sistema possui quatro dimensões, e cada solução, obtemos a parcela particular dos valores para c 1 , c 2 , c 3 , c 4 na equação da solução geral, que corresponde a trajetória do espaço.

Nós podemos mostrar que as projeções de certas trajetórias no plano y 1 y 3 → y 2 y 4 , assim podemos mostrar separadamente cada movimento.

Os dois primeiros termos do lado direito da solução geral do sistema está movimentando com uma frequência de 1 a 2 π de período. Note que y 1 = y 2 e nestes termos temos também que y 3 = y 4 . Se nós focarmos a solução u 1 t e plotarmos y 1 versus t e y 2 versus t no mesmo eixos, nós iriamos obter os mesma consignação de gráficos de amplitude 1.

A trajetória da primeira massa no plano y 1 y 3 e segunda massa no plano y 2   y 4 será igual e mesma posição no circulo de raio 1 atravessando o sentindo anti-horário e começando no ponto 1,0 e completando o circuito no período ou tempo 2 π . A origem é o centro do planos y 1 y 3 e y 2 y 4 .

Podemos ter gráficos similares que obtivemos da função v 1 ou tendo a mesma combinação linear de u 1 e v 1 .

Temos também que os termo do lado direito da solução geral que temos, estes termos estão referentes a frequência 5 2 e o período 4 5 π .

Observe que neste caso, temos y 2 = - 3 4 y 1 e y 4 = - 15 20 y 3 = - 3 4 y 3 .

Se nós apenas olharmos para u 2 e desenhar o gráfico de y 1 versus t e y 2 e versus t nos mesmo eixos, teremos uma fase diferente em 4 5 π , e a implitude de y 2 será 3 4 de y 1 .

Novamente, muito similar com os gráficos que obtivemos de v 2 da combinação linear de u 2 e v 2 .

Passo 2

Após toda essa explanação vamos aos gráficos que citamos, primeiramente desenhando o gráfico de y 1 versus t e y 2 versus t . Note que eles são iguais:

Passo 3

Executando a superposição dos projetos e trajetórias dos planos y 1 y 3 e y 2 y 4 para a solução de u 1 t .

Passo 4

Executando o gráfico de y 1 versus t e y 2 × t para solução u 2 t .

Passo 5

A superposição das projeções e trajetórias nos planos y 1 y 3 e y 2 y 4 para a solução u 2 t .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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