Enunciado

Seja

J = λ 0 0 0 λ 1 0 0 λ

Em que 1 é um numero real arbitrário.

a)encontre J 2 , J 3 e   J 4 .

b)Use um argumento indutivo para mostrar que:

J n = λ n 0 0 0 λ n n λ n - 1 0 0 λ n

c)Determine e x p ⁡ ( J t ) .

d)Observe que, se você escolher I = 1 , então a matriz J nesse problema é igual a matriz J no problema 19(f). Usando a matriz T do problema 19(f), forme o produto T e x p ( J t ) com I = 1 . A matriz resultante é a mesma que a matriz fundamental Ψ ( t ) no problema 19(e)? Se não for, explique a discrepância.

Passo 1

a) Aplicando a multiplicação simples na nossa matriz J , temos:

Para J 2 :

J 2 = λ 0 0 0 λ 1 0 0 λ ∙ λ 0 0 0 λ 1 0 0 λ

J 2 = λ 2 0 0 0 λ 2 λ 0 0 λ 2

Para J 3 :

J 3 = λ 0 0 0 λ 1 0 0 λ ∙ λ 0 0 0 λ 1 0 0 λ ∙ λ 0 0 0 λ 1 0 0 λ

J 3 = λ 3 0 0 0 λ 3 3 λ 2 0 0 λ 3

Para J 4 :

J 4 = λ 0 0 0 λ 1 0 0 λ ∙ λ 0 0 0 λ 1 0 0 λ ∙ λ 0 0 0 λ 1 0 0 λ ∙ λ 0 0 0 λ 1 0 0 λ

J 4 = λ 4 0 0 0 λ 4 4 λ 3 0 0 λ 4

b)Após resolvermos letra (a) perceba que é uma sequencia bem intuitiva oque acontece com ela e com progressão do expoente de J .

Utilizando a matriz J n , iremos somar mais uma unidade ao expoente e calcularemos o resultado, o esperado que seja algo muito parecido com a letra (a) mas com apenas letras:

J n = λ n 0 0 0 λ n n λ n - 1 0 0 λ n

Somando mais uma unidade:

J n + 1 = λ n 0 0 0 λ n n λ n - 1 0 0 λ n ∙ λ 0 0 0 λ 1 0 0 λ

J n + 1 = λ ∙ λ n 0 0 0 λ ∙ λ n λ n + n λ ∙ λ n - 1 0 0 λ ∙ λ n

Note que resultado a multiplicação segue a lógica, já notada anteriormente no item (a), portanto o argumento é matematicamente intuitivo.

Passo 2

c)Para determinando e x p ⁡ ( J t ) :

Temos que uma exponencial de uma matriz quadrada ( n × n ) é definida por:

exp ⁡ A = e A = I + A + A 2 2 ! + A 3 3 ! … …

Em que I é a matriz identidade.

E executar este tipo de formula para uma matriz diagonal 3 × 3 é dado por:

exp ⁡ x 1 0 0 0 x 2 0 0 0 x 3 = e x 1   0 0 0 e x 2 0 0 0 e x 3

Utilizando o mesmo conceito temos:

e J t = e λ t 0 0 0 e λ t t e λ t 0 0 e λ t

Passo 3

d)Temos que a matriz T é:

T = 1 - 2 0 0 - 4 0 2 2 1

Aplicando o produto de T e x p ( J t )   , antes disso assumiremos λ = 1 ,teremos:

T ∙ e J t = 1 - 2 0 0 - 4 0 2 2 1 ∙ e t 0 0 0 e t t e t 0 0 e t

T ∙ e J t = e t 2 e t 2 t e t 0 4 e t 4 t e t 2 e t - 2 e t - 2 t e t - e t

Com base na forma de J , e j t é a matriz fundamental associada as soluções:

y 1 = ξ 1 e t

y 2 = 2 ξ 1 + 2 ξ 2 e t

y 3 = 2 ξ 1 + 2 ξ 2 t e t + η e t

Sabemos que a matriz fundamental é formada é associada as soluções y 1 , y 2 e y 3 tendo como:

Ψ t =   y 1 y 2 y 3

Ψ t = ξ 1 e t 2 ξ 1 + 2 ξ 2 e t 2 ξ 1 + 2 ξ 2 t e t + η e t

Oque é o oposta do problema 19, por ser:

ξ 1 e t ξ 2 e t 2 ξ 1 + 2 ξ 2 t e t + η e t

Resposta

a) J 2 = λ 2 0 0 0 λ 2 λ 0 0 λ 2

J 2 = λ 2 0 0 0 λ 2 λ 0 0 λ 2

J 4 = λ 4 0 0 0 λ 4 4 λ 3 0 0 λ 4

b) J n + 1 = λ ∙ λ n 0 0 0 λ ∙ λ n λ n + n λ ∙ λ n - 1 0 0 λ ∙ λ n

c)

e J t = e λ t 0 0 0 e λ t t e λ t 0 0 e λ t

d)

T ∙ e J t = e t 2 e t 2 t e t 0 4 e t 4 t e t 2 e t - 2 e t - 2 t e t - e t

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