Enunciado

Encontre a solução do problema de condução de calor

100 u x x = u t ,   0 < x < 1 ,   t > 0 ;

u ( 0 , t ) = 0 ,   u ( 1 , t ) = 0 ,   t > 0 ;

u ( x , 0 ) = s e n 2 π x - s e n 5 π x ,   0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

A equação de condução de calor 100 u x x = u t e as condições de contorno especificadas são

homogêneas. Consideramos soluções da forma u ( x , t ) = X ( x ) T ( t )

A equação diferencial parcial resulta em:

100 X ' ' T = X T '

Dividindo os dois lados da equação diferencial pelo produto X T , obtemos:

X ' ' X = T ' 100 T

Como os dois lados da equação resultante são funções de variáveis ​​diferentes, segue-se que:

X ' ' X = T ' 100 T =   - λ

Portanto, X ( x ) e T ( t )   são soluções das equações diferenciais ordinárias:

X ' ' + λ X = 0 e T ' + 100 λ T = 0

A solução geral da equação espacial é:

X = c 1 c o s λ 1 / 2 x + c 2 s i n λ 1 / 2 x .

As condições iniciais são:

u ( 0 , t ) = 0

0 = c 1 c o s 0 + c 2 s i n 0

0 = c 1

E então:

X = c 2 s i n λ x

u ( 1 , t ) = 0

0 = c 2 s i n λ

λ = n π

Passo 2

As autofunções são:

X n = s i n   n π x com autovalores λ n = n 2 π 2

Então, obtemos a família de equações T ' + 100 λ n T = 0

As soluções são:

T n = e - 100 λ n t

As soluções fundamentais das EDPs são:

u n ( x , t ) = e - 100 n 2 π 2 t s i n   n π x

A solução geral é:

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ c n e - 100 n 2 π 2 t s i n   n π x

Da condição inicial u ( x , 0 ) = s i n 2 π x - s i n 5 π x , temos:

∑ n = 1 ∞ c n s i n   n π x =   s i n 2 π x - s i n 5 π x

Então, c 2 = 1 ,   c 5 =   - 1 e todos os outros c n = 0

A solução do problema de condução de calor é:

u ( x , t ) = e - 400 π 2 t s i n 2 π x - e - 2500 π 2 t s i n 5 π x

Resposta

u ( x , t ) = e - 400 π 2 t s i n 2 π x - e - 2500 π 2 t s i n 5 π x

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