Enunciado

66. Seja f x = 1 - 2 x h x , onde h x é a função dada no Exercício 65. Suponha que x = 5 seja um ponto crítico de f x .

a) Estime h 5 .

b) Use o teste da derivada segunda para determinar se f x tem um máximo ou um mínimo relativo em x = 5 .

Passo 1

a) Então pessoal, a função f x que nos foi dada é a seguinte:

f x = 1 - 2 x h x

E a função h x que o enunciado cita é dada através do gráfico de h ' x a seguir:

Se x = 5 é um ponto crítico de f x , então temos que:

f ' 5 = 0

Derivando nossa função, teremos:

f ' x = - 2 . h x + 1 - 2 x . h ' x

f ' 5 = - 2 h 5 + 1 - 10 . h ' 5

Passo 2

Se observarmos o gráfico que nos foi dado temos:

h ' 5 ≈ - 0,2

Ademais:

f ' 5 = 0

Substituindo na nossa expressão:

0 = - 2 h 5 - 9 . - 0,2

2 h 5 = 1,8

∴ h 5 = ≈ 0,9

Passo 3

b) Derivando nossa derivada, teremos:

f ' ' x = - 2 . h ' x + - 2 . h ' x + 1 - 2 x . h ' ' x

Simplificando:

f ' ' x = 1 - 2 x . h ' ' x - 4 . h ' x

Substituindo x = 5 teremos:

f ' ' 5 = 1 - 10 . h ' ' 5 - 4 . - 0,2

f ' ' 5 = 0,8 - 9 . h ' ' 5

Se observarmos o gráfico, notaremos que h ' ' 5 é negativa, pois a derivada primeira é totalmente negativa nesse intervalo. Sendo assim, pela multiplicação de sinais:

f ' ' 5 > 0

Se a derivada segunda nesse ponto é positiva, então a concavidade da função nas proximidades do ponto é para cima, o que indica um ponto de mínimo.

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

a) h 5 = ≈ 0,9

b) f 5 → P o n t o   d e   m í n i m o

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha um gráfico da função e identifique a localização de todos os pontos criticos e de inflexão. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.36. 5 x 2 3 + x 5 3
Obtenha um gráfico da função e identifique a localização de todos os pontos criticos e de inflexão. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.36. 8 + x 2 + x 3
Use um recurso gráfico computacional para gerar os gráficos de x = y e y = ( x 3 - 8 ) / ( x 2 + 1 ) juntos no intervalo - 5 ,5 e faça uma conjectura sobre a relação entre eles.Confirme a conjectura e
Seja: f ( x ) = 2 x 3 + x 2 - 15 x + 7 2 x - 1 3 x 2 + x - 1 Faça o gráfico de y = f ( x ) e econtre as equações de todas as assíntotas, horizontais e verticais. Explique por que não há assíntotas em
Seja f x = x 5 - x 4 - 3 x 3 + 2 x + 4 x 7 - 2 x 6 - 3 x 5 + 6 x 4 + 4 x - 8 (a) Use um CAS para fatorar o numerador e o denominador de f e use os resultados para determinar a localização de todas as