Seja z = e^y * Phi(x - y) , onde phi é uma função diferenciável de uma variável real. Mostre que

∂z/∂x + ∂z/∂y = z

Passo 1

Olá, tudo tranquilo por aí?

Vou te ajudar a resolver essa atividade de cálculo hoje, beleza?

Aqui temos uma função:

z = e y Φ x - y

E queremos mostrar que:

∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = z

Para isso iremos derivar parcialmente essa função. Teremos aqui que utilizar a regra do produto para derivar em algum momento, pois teremos o produto de funções que dependem da mesma variável.

Passo 2

Note que e y é constante em relação a x , e usamos a regra da cadeia para ϕ x - y :

∂ z ∂ x = e y ⋅ ϕ ' x - y

Agora e y depende de y , e ϕ x - y também depende de y , então usamos a regra do produto:

∂ z ∂ y = d d y e y ⋅ ϕ x - y + e y ⋅ d d y ϕ x - y

= e y ⋅ ϕ x - y + e y ⋅ - ϕ ' x - y

= e y ⋅ ϕ x - y - e y ⋅ ϕ ' x - y

Agora iremos somar as derivadas:

∂ z ∂ x y + ∂ z ∂ y = e y ⋅ ϕ ' x - y + e y ⋅ ϕ x - y - e y ⋅ ϕ ' x - y

= e y ⋅ ϕ x - y = z

Resposta

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