Enunciado

14. Seja f x , y = e - x 2   ϕ 2 y - x , onde ϕ é uma função diferenciável de uma variável real. Mostre que

2 ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = - f

Passo 1

Queremos provar o seguinte:

2 ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = - f

A ideia será achar o lado esquerdo e ver que é igual a - f .

f x , y = e - x 2   ϕ 2 y - x

Vamos fazer a seguinte substituição:

u = 2 y - x

Logo,

∂ u ∂ y = 2 e ∂ u ∂ x = - 1

Então nossa função fica o seguinte:

f x , u = e - x 2   ϕ u

Passo 2

Primeiro vamos encontrar ∂ f ∂ y ,

∂ f ∂ y = e - x 2   ∂ ϕ ∂ y

Mas sabemos o seguinte:

∂ ϕ ∂ y = ∂ ϕ ∂ u × ∂ u ∂ y

Do Passo 1:

∂ ϕ ∂ y = ∂ ϕ ∂ u × 2

Então nossa expressão fica:

∂ f ∂ y = 2 e - x 2 ∂ ϕ ∂ u

Passo 3

Pra finalizar, vamos calcular ∂ f ∂ x .

f x , u = e - x 2   ϕ u

Pela regra do produto:

∂ f ∂ x = - 1 2 × e - x 2   ϕ u + e - x 2 ∂ ϕ ∂ x

Mas sabemos o seguinte:

∂ ϕ ∂ x =   ∂ ϕ ∂ u × ∂ u ∂ x

Usando o que achamos no Passo 1:

∂ ϕ ∂ x =   ∂ ϕ ∂ u × - 1

Logo,

∂ f ∂ x = - 1 2 × e - x 2   ϕ u - e - x 2 ∂ ϕ ∂ u

Passo 4

Pra finalizar, vamos ver como fica a expressão do lado esquerdo, isto é:

E = 2 ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y

Usando os resultados do Passo 2 e 3:

E = 2 - 1 2 × e - x 2   ϕ u - e - x 2 ∂ ϕ ∂ u + 2 e - x 2 ∂ ϕ ∂ u

Fazendo as contas:

E = - e - x 2   ϕ u - 2 e - x 2 ∂ ϕ ∂ u + 2 e - x 2 ∂ ϕ ∂ u

Portanto,

E = - e - x 2   ϕ u

Como u = 2 y - x :

E = - e - x 2   ϕ 2 y - x = - f

Acabou 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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