Enunciado

  1. Seja P um ponto não pertenente à reta L que passa pelos pontos Q e R . Mostre que a distancia d do ponto P até a reta L é
  2. d = a × b a

    Onde a = Q R → e b = Q P → .

  3. Utilize a fórmula da parte a ) do exercício para determinar a distância do ponto P ( 1,1 , 1 ) à reta que passa por Q ( 0,6 , 8 ) e R - 1,4 , 7 .

Passo 1

a )

Primeiramente, vamos tentar desenhar tudo isso aí que a questão falou pra gente:

Repare que pela nossa figura, podemos dizer que a distancia entre o ponto P e a reta L que ta na direção do vetor a = Q R → é dada por

d = P S →

E se você reparar também, existe um triangulo retângulo ali na nossa figura! E dele, podemos tirar que:

sin ⁡ θ = d b

Tudo certo até aqui?

Show!

Passo 2

Acontece que a fórmula onde queremos chegar é essa aqui

d = a × b a

Que é uma parada que envolve produto vetorial.

E o que temos até agora é uma parada que envolve seno.

Então vamos lembrar o seguinte:

a × b = a b sen ⁡ θ       ,   0 < θ ≤ π

Isolando o seno:

sin ⁡ θ = a × b a b

Passo 3

Agora igualando as duas fórmulas que temos:

a × b a b = d b

d = a × b . b a b

d = a × b a

E chagamos na fórmula que a gente queria

Passo 4

b )

Para determinar a distância do ponto P ( 1,1 , 1 ) à reta que passa por Q ( 0,6 , 8 ) e R - 1,4 , 7 , vamos definir:

a = Q R → = - 1,4 , 7 - 0,6 , 8 = ( - 1 , - 2 , - 1 )

b = Q P → = 1,1 , 1 - 0,6 , 8 = ( 1 , - 5 , - 7 )

Passo 5

Agora, vamos calcular a × b :

a × b   = i j k - 1 - 2 - 1 1 - 5 - 7 = - 2 - 1 - 5 - 7 i - - 1 - 1 1 - 7 j + - 1 - 2 1 - 5 k

a × b   = i j k - 1 - 2 - 1 1 - 5 - 7 = 2.7 - 1.5 i - 1.7 + 1.1 j + 1.5 + 2.1 k

a × b   = i j k - 1 - 2 - 1 1 - 5 - 7 = 9 i - 8 j + 7 k

a × b = 9 2 + - 8 2 + 7 2 = 194

Passo 6

Calculando a :

a = - 1 2 + - 2 2 + - 1 2 = 6

Passo 7

Substituindo tudo na fórmula da letra a :

d = a × b a = 194 6 = 194 6 = 97 3

Resposta

b )

d = 97 3

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Calcule | u × v | determine se u × v o sentido de entrar ou sair da página.
Determine o produto vetorial a × b e verifique que ele é ortogonal a a e b . a = t , 1 ,1 / tb = t 2 , t 2 1
Mostre que a × b 2 = a 2 b 2 - a ∙ b 2 .
Determine o produto vetorial a × b e verifique que ele é ortogonal a a e b . a = t i + cos ⁡ tj + s e ntk b = i - s e ntj + cos ⁡ tk
Calcule | u × v | determine se u × v o sentido de entrar ou sair da página.