Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(n = 1)^(oo) (e^(1 // n))/(n^2)

Passo 1

Mais uma vez estamos diante de uma série de termos positivos e sem muitas opções de manipulações algébricas que nos favoreça.

Sendo assim, vamos partir para o bom e velho “Teste da Integral”.

Passo 2

Pelo Teste da Integral, devemos associar ao termo geral a_n = (e^(1 // n))/(n^2) da nossa série a seguinte função f (x) = (e^(1 // x))/(x^2) . Com isso, vamos calcular o seguinte limite:

sum_(k = 1)^(oo) (e^(1 // n))/(n^2) underset(T e s t e d a I n t e g r a l)(->) underset(t -> oo)(lim) int_1^t f ( x ) d x = underset(t -> oo)(lim) int_1^t (e^(1 // x))/(x^2) d x

Para o cálculo da integral, usaremos a técnica de substituição com u = (1)/(x) e, assim, d u = - (d x)/(x^2) . Isso nos faz resolver a integral da seguinte forma:

int (e^(1 // x))/(x^2) d x = - int e^u d u = - e^u = - e^(1 // x)

Passo 3

Retornando ao nosso limite, temos que

underset(t -> oo)(lim) int_1^t (e^(1 // x))/(x^2) d x = underset(t -> oo)(lim) (- e^(1 // x)) (t)/(1) = [underset(t -> oo)(lim) (- e^(1 // t))] + e = e - 1

Logo, pelo Teste da Integral, chegamos à conclusão de que a série sum_(k = 1)^(oo) a_n = sum_(k = 1)^(oo) (e^(1 // n))/(n^2) é convergente.

Resposta

sum_(k = 1)^(oo) (e^(1 // n))/(n^2) é convergente

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