Seja f(x) = x^3 + x . Prove que

a) |f(x) - f(2)| <= 20 |x - 2| para 0 <= x <= 3

b) f é contínua em 2

Passo 1

a) Para provar que f x - f 2 ≤ 20 x - 2 devemos desenvolver o lado esquerdo da inequação:

f x - f 2 = x 3 + x - 2 3 + 2 = x 3 + x - 10

f x - f 2 = x 3 + x - 10

Se x = 2 f x - f 2 = 0 , logo x 3 + x - 10 = 0 , então 2 é raiz de x 3 + x - 10 , assim, podemos fatorar esse polinômio, colocando x - 2 em evidência:

Usando o método de Briot-Ruffini para dividir os polinômios temos:

Assim:

x 3 + x - 10 = x - 2 x 2 + 2 x + 5

Então:

f x - f 2 = x 3 + x - 10 = x - 2 x 2 + 2 x + 5 = x - 2 x 2 + 2 x + 5

f x - f 2 = x - 2 x 2 + 2 x + 5

Como x 2 + 2 x + 5 não possui raízes reais e é sempre um número positivo, então:

x 2 + 2 x + 5 = x 2 + 2 x + 5

Para um valor 0 ≤ x ≤ 3 :

0 2 + 2 0 + 5 ≤ x 2 + 2 x + 5 ≤ 3 2 + 2 3 + 5

5 ≤ x 2 + 2 x + 5 ≤ 20

Assim,

5 x - 2 ≤ x - 2 x 2 + 2 x + 5 ≤ 20 x - 2

E como f x - f 2 = x - 2 x 2 + 2 x + 5 podemos reescrever a inequação de modo que:

5 x - 2 ≤ f x - f 2 ≤ 20 x - 2

Logo, provamos que f x - f 2 ≤ 20 x - 2 para 0 ≤ x ≤ 3 .

Passo 2

b) Para f ser contínua em 2 , basta que para todo ϵ > 0 exista δ > 0 tal que para um x qualquer do domínio tenhamos:

x - 2 < δ   ⇒ f x - f 2 < ϵ

E como provamos no item (a) que para 0 ≤ x ≤ 3 , temos f x - f 2 ≤ 20 x - 2 , então podemos dizer que sempre vai existir M > 0 para qualquer x que satisfaça

f x - f 2 ≤ M x - 2

Tomando δ = ϵ M :

x - 2 < ϵ M

M x - 2 < ϵ

f x - f 2 ≤ M x - 2 < ϵ

f x - f 2 < ϵ

Assim, provamos que a afirmação x - 2 < δ   ⇒ f x - f 2 < ϵ é verdadeira e, portanto, f é contínua em 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados